HOMOTECIJA: SVOJSTVA, VRSTE I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Dilatacija je geometrijski promjena u ravnini koja je, od fiksne točke naziva centra (O), udaljenosti su pomnožen zajednički faktor. Na taj način, svaka točka P odgovara drugoj točki P 'produkta transformacije, a one se poravnavaju s točkom O.

Dakle, u homotetiji se radi o podudarnosti dviju geometrijskih figura, gdje se transformirane točke nazivaju homotetičkim, a one su poravnane s fiksnom točkom i s segmentima paralelnim jedna s drugom.

Homothecy

Homotezija je transformacija koja nema složenu sliku, jer će se iz figure dobiti jedna ili više figura veće ili manje veličine od izvorne figure; to jest da ta homotecija pretvara poligon u drugi sličan.

Da bi se homotecija ispunila, točke od točke do točke moraju odgovarati liniji tako da se parovi homolognih točaka poravnaju s trećom fiksnom točkom koja je središte homotecije.

Isto tako, parovi crta koji ih spajaju moraju biti paralelni. Odnos između takvih segmenata je konstanta koja se naziva omjer homotecije (k); na takav način da se homotecija može definirati kao:

Za provođenje ove vrste transformacije započinjemo odabirom proizvoljne točke koja će biti središte homotecije.

Od ove točke crtaju se segmenti linija za svaku verziju figure koja se transformira. Ljestvica u kojoj je napravljena reprodukcija novog lika dana je odnosom homotecije (k).

Svojstva

Jedno od glavnih svojstava homoteze je da su, po homotetskom razlogu (k), sve homotetske figure slične. Među ostalim izvanrednim svojstvima izdvajamo sljedeće:

- Središte homotecije (O) je jedina dvostruka točka i ona se pretvara u sebe; to jest, ne varira.

- Linije koje prolaze kroz središte pretvaraju se u sebe (dvostruke su), ali točke koje ga čine nisu dvostruke.

- Linije koje ne prolaze kroz središte transformiraju se u paralelne linije; na taj način kutovi homotecije ostaju isti.

- Slika segmenta u skladu s homotezom središta O i omjerom k, segment je paralelan ovom i ima k putanju njegovu duljinu. Na primjer, kao što je vidljivo na sljedećoj slici, segment AB po homoteciji rezultirat će u drugom segmentu A'B ', tako da će AB biti paralelan s A'B', a k će biti:

- Homotetički kutovi su sukladni; to jest, imaju istu mjeru. Prema tome, slika jednog kuta je kut koji ima istu amplitudu.

S druge strane, imamo da homotecija varira u zavisnosti od vrijednosti njegovog omjera (k), a mogu se pojaviti sljedeći slučajevi:

- Ako je konstanta k = 1, sve su točke fiksirane jer se transformišu. Tako se homotetski lik podudara s izvornim i transformacija će se nazvati funkcijom identiteta.

- Ako je k ≠ 1, jedina fiksna točka bit će središte homotetike (O).

- Ako je k = -1, homotecija postaje središnja simetrija (C); tj. dogoditi se rotacija oko C, pod kutom od 180 ^ili.

- Ako je k> 1, veličina transformirane figure bit će veća od originala.

- Ako je 0 <k <1, veličina transformirane figure bit će manja od originala.

- Ako je -1 <k <0, veličina transformirane figure bit će manja i ona će se zakrenuti u odnosu na izvornik.

- Ako je k <-1, veličina transformirane figure bit će veća i ona će se rotirati u odnosu na izvornik.

vrste

Homotecija se također može razvrstati u dvije vrste, ovisno o vrijednosti njenog omjera (k):

Izravna homotecija

Javlja se ako je konstanta k> 0; to jest, homotetske točke su na istoj strani u odnosu na središte:

Faktor proporcionalnosti ili omjer sličnosti između izravnih homotetskih figura uvijek će biti pozitivan.

Obrnuta homotecija

Javlja se ako je konstanta k <0; to jest, početne točke i njihova homotetika nalaze se na suprotnim krajevima u odnosu na središte homotetike, ali su poravnate s njim. Središte će biti između dvije figure:

Faktor proporcionalnosti ili omjer sličnosti između inverznih homotetskih figura uvijek će biti negativan.

Sastav

Kad se nekoliko pokreta uzastopno izvede do dobivanja figure jednake izvorniku, nastaje sastav pokreta. Sastav nekoliko pokreta je također pokret.

Sastav između dviju homotecija rezultira novom homotetijom; to jest, postoji produkt homotestija u kojem će središte biti poravnato s središtem dviju izvornih transformacija, a omjer (k) je proizvod dvaju omjerica.

Dakle, u sastavu dviju homotecija H ₁ (O ₁, k ₁) i H ₂ (O ₂, k ₂), množenjem njihovih omjera: k ₁ xk ₂ = 1 rezultirat će homotetičnošću omjera k ₃ = k ₁ xk ₂. Središte ove nove homoteze (O ₃) bit će smješteno na liniji O ₁ O ₂.

Homoteciji odgovara ravna i nepovratna promjena; Ako se primijene dvije homotetije koje imaju isti središte i omjer, ali s drugačijim znakom, dobit će se izvorni lik.

Primjeri

Prvi primjer

Primijenite homotetičnost na zadani poligon iz središta (O) koji se nalazi 5 cm od točke A i čiji je omjer k = 0,7.

Riješenje

Bilo koja točka je odabrana kao središte homotecije, a iz te se točke kroz vrhove slike uvlače zrake:

Udaljenost od centra (O) do točke A je OA = 5; S tim se može odrediti udaljenost jedne od homotetskih točaka (OA '), također znajući da je k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Postupak se može izvesti za svaku vršku, ili se može prikazati i homotetički poligon sjećajući se da dva poligona imaju paralelne strane:

Konačno, transformacija izgleda ovako:

Drugi primjer

Primijenite homotetičnost na zadani poligon sa središtem (O), koji se nalazi 8,5 cm od točke C i čiji je omjer y k = -2.

Riješenje

Udaljenost od sredine (O) do točke C je OC = 8,5; Pomoću ovih podataka moguće je odrediti udaljenost jedne od homotetskih točaka (OC '), također znajući da je k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Nakon crtanja segmenata vrhova transformiranog poligona, polazne točke i njihova homotetika nalaze se na suprotnim krajevima u odnosu na središte:

Reference

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Tehnički crtež: bilježnica s aktivnostima.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Afinitet, homologija i homotetika.
3. Baer, ​​R. (2012). Linearna algebra i projektivna geometrija. Kurirska korporacija.
4. Hebert, Y. (1980). Opća matematika, vjerojatnosti i statistika.
5. Meserve, BE (2014). Temeljni pojmovi geometrije. Kurirska korporacija.
6. Nachbin, L. (1980). Uvod u algebru. Reverte.