- Koje su dimenzije?
- Trodimenzionalni prostor
- Četvrta dimenzija i vrijeme
- Koordinate hiperkube
- Razvlačenje hiperkube
- Reference
Hiperkocke je kocka dimenzija br. Konkretni slučaj četverodimenzionalne hiperkube naziva se tesserakt. Hiperkuba ili n-kocka sastoji se od ravnih segmenata, svi jednake duljine koji su pravokotni u svojim vrhovima.
Ljudska bića opažaju trodimenzionalni prostor: širinu, visinu i dubinu, ali kod nas nije moguće vizualizirati hiperkubu s dimenzijom većom od 3.
Slika 1. 0-kocka je točka, ako se ta točka proteže u smjeru udaljenost a tvori 1-kocku, ako ta 1-kocka proteže udaljenost a u pravokutnom smjeru imamo 2-kocku (od strane x do a), ako se 2-kocka proteže na udaljenosti a u pravokutnom smjeru, imamo 3-kocku. Izvor: F. Zapata.
Najviše možemo napraviti projekcije toga u trodimenzionalnom prostoru kako bismo ga prikazali, na sličan način kako projiciramo kocku na ravninu kako bismo je prikazali.
U dimenziji 0 jedina je figura točka, pa je 0-kocka točka. 1-kocka je ravan segment koji nastaje pomicanjem točke u jednom smjeru prema udaljenosti a.
Sa svoje strane, 2-kocka je kvadrat. Konstruira se pomicanjem 1-kocke (segment duljine a) u smjeru y, koji je pravokutan u smjeru x, udaljenost a.
3-kocka je uobičajena kocka. Gradi se od kvadrata pomicanjem u trećem smjeru (z), koji je pravokotan smjerovima x i y, udaljenost a.
Slika 2. 4-kocka (tesseract) je produžetak 3-kocke u pravokutnom smjeru na tri konvencionalna prostorna smjera. Izvor: F. Zapata.
4-kocka je tesserakt, koji je izgrađen od 3-kocke koja se kreće pravokutno, udaljenosti a, prema četvrtoj dimenziji (ili četvrtom smjeru), koju ne možemo opaziti.
Tesserakt ima sve svoje prave kutove, ima 16 vrhova, a svi njegovi rubovi (ukupno 18) imaju jednaku duljinu a.
Ako je duljina rubova n-kocke ili hiperkube dimenzije n jednaka, onda je to jedinična hiperkuba, u kojoj najduža dijagonala mjeri √n.
Slika 3. N-kocka je dobivena iz (n-1) -kube koja se proteže pravokotno u sljedeću dimenziju. Izvor: wikimedia commons.
Koje su dimenzije?
Dimenzije su stupnjevi slobode ili mogući pravci u kojima se objekt može kretati.
U dimenziji 0 ne postoji mogućnost prevođenja, a jedini mogući geometrijski objekt je točka.
Dimenzija u euklidskom prostoru predstavljena je orijentiranom linijom ili osi koja definira tu dimenziju, nazvanu osi X. Razdvajanje između dviju točaka A i B je euklidska udaljenost:
d = √.
U dvije dimenzije prostor je predstavljen dvjema linijama orjentiranim pravokutnikom, nazvanim osi X i osi Y.
Položaj bilo koje točke u ovom dvodimenzionalnom prostoru dat je parom kartezijanskih koordinata (x, y), a udaljenost između bilo koje dvije točke A i B bit će:
d = √
Jer to je prostor u kojem se ispunjava Euklidova geometrija.
Trodimenzionalni prostor
Trodimenzionalni prostor je prostor u kojem se krećemo. Ima tri smjera: širinu, visinu i dubinu.
U praznoj sobi okomiti kutovi daju ova tri smjera i svakom možemo pridružiti os: X, Y, Z.
Ovaj je prostor također euklidski, a udaljenost između dviju točaka A i B izračunava se na sljedeći način:
d = √
Ljudska bića ne mogu opažati više od tri prostorne (ili euklidske) dimenzije.
Međutim, sa strogo matematičkog stajališta moguće je definirati n-dimenzionalni euklidski prostor.
Na ovom prostoru tačka ima koordinate: (x1, x2, x3,….., xn), a udaljenost između dviju točaka je:
d = √.
Četvrta dimenzija i vrijeme
Doista, u teoriji relativnosti vrijeme se tretira kao još jedna dimenzija i s njim je povezana koordinata.
Ali mora biti razjašnjeno da je ta koordinata povezana s vremenom imaginarni broj. Stoga odvajanje dviju točaka ili događaja u prostor-vremenu nije euklidsko, već slijedi Lorentzovu metriku.
Četverodimenzionalni hiperkub (tesserakt) ne živi u prostor-vremenu, on pripada četverodimenzionalnom euklidskom hiper-prostoru.
Slika 4. 3D projekcija četverodimenzionalnog hiperkuba u jednostavnoj rotaciji oko ravnine koja dijeli lik s prednje na lijevo, natrag desno i odozdo na dolje. Izvor: Wikimedia Commons.
Koordinate hiperkube
Koordinate vrhova n-kocke usredotočene na ishodište dobivaju se obavljanjem svih mogućih permutacija sljedećeg izraza:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Gdje je a duljina ruba.
-U volumen od n-kocki rub je A: (a / 2) n (2 n) = a n.
-Najduža dijagonala je udaljenost između suprotnih vrhova.
-Sljedeći su suprotni vrhovi u kvadratu: (-1, -1) i (+1, +1).
-I u kocki: (-1, -1, -1) i (+1, +1, +1).
-Duža dijagonala n-kocke mjeri:
d = √ = √ = 2√n
U ovom slučaju pretpostavljeno je da je strana a = 2. Za n-kocku strane bilo koja će biti:
d = a√n.
-Tesseract ima svaki od svojih 16 vrhova spojenih na četiri ruba. Sljedeća slika prikazuje kako su vrhovi povezani u tesseraktu.
Slika 5. Prikazano je 16 vrhova četverodimenzionalnog hiperkuba i kako su povezani. Izvor: Wikimedia Commons.
Razvlačenje hiperkube
Uobičajena geometrijska figura, na primjer poliedar, može se razvući u nekoliko figura manje dimenzije.
U slučaju 2-kocke (kvadrata) može se podijeliti u četiri segmenta, odnosno četiri 1-kocke.
Slično tome, 3-kocku se može razviti u šest 2-kocke.
Slika 6. N-kocka može se razviti u nekoliko (n-1)-kocka. Izvor: Wikimedia Commons.
4-kocka (tesseract) može se razviti u osam 3-kockica.
Sljedeća animacija prikazuje odvijanje tesserakta.
Slika 7. 4-dimenzionalna hiperkuba može se razviti u osam trodimenzionalnih kockica. Izvor: Wikimedia Commons.
Slika 8. Trodimenzionalna projekcija četverodimenzionalnog hiperkuba koja izvodi dvostruku rotaciju oko dvije pravokutne ravnine. Izvor: Wikimedia Commons.
Reference
- Znanstvena kultura. Hiperkuba, vizualizirajući četvrtu dimenziju. Oporavilo od: culturacientifica.com
- Epsilons. Četverodimenzionalna hiperkuba ili tesserakt. Oporavak od: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Metoda za dobivanje tesserakta iz razvoja hiperkube (4D). Oporavilo od: researchgate.net
- Wikiknjige. Matematika, poliedri, hiperkube. Oporavilo sa: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hiperkocke. Oporavilo sa: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Oporavilo sa: en.wikipedia.com