EUKLIDSKA GEOMETRIJA: POVIJEST, OSNOVNI POJMOVI I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

U euklidska geometrija odgovara proučavanju svojstava geometrijskih prostora u kojem su zadovoljni Euklidovi aksiomi. Iako se ovaj termin ponekad koristi za pokrivanje geometrija koje imaju veće dimenzije sa sličnim svojstvima, općenito je sinonim za klasičnu geometriju ili geometriju ravnina.

U III stoljeću a. C. Euklid i njegovi učenici napisali su Elemente, djelo koje je obuhvaćalo matematičko znanje vremena obdareno logičko-deduktivnom strukturom. Otada je geometrija postala znanost koja je u početku rješavala klasične probleme i evoluirala kao formativna znanost koja pomaže razumu.

Povijest

Da bismo govorili o povijesti euklidske geometrije, ključno je započeti s Euklidom iz Aleksandrije i Elemenata.

Kad je Egipat ostao u rukama Ptolomeja I, nakon smrti Aleksandra Velikog započeo je svoj projekt u jednoj školi u Aleksandriji.

Među mudracima koji su predavali u školi bio je i Euklid. Nagađa se da njegovo rođenje potječe iz oko 325. pr. C. i njegova smrt 265. a. C. Sa sigurnošću možemo znati da je išao u Platonovu školu.

Više od trideset godina Euclid je učio u Aleksandriji, gradeći svoje poznate elemente: počeo je pisati iscrpan opis matematike svog vremena. Euklidova učenja proizvela su izvrsne učenike, poput Arhimeda i Apolonija iz Perge.

Euklid je bio zadužen za strukturiranje različitih otkrića starih Grka u Elementima, ali za razliku od svojih prethodnika ne ograničava se na potvrđivanje da je teorema istinita; Euclid nudi demonstraciju.

Elementi je zbornik od trinaest knjiga. Nakon Biblije to je najviše objavljena knjiga, s više od tisuću izdanja.

Euklidovi elementi

Elementi su Euclidovo remek-djelo u području geometrije, a nudi definitivni tretman dvodimenzionalne (ravnine) i trodimenzionalne (svemirske) geometrije, koja je izvor onoga što danas znamo kao euklidska geometrija.,

Osnovni koncepti

Elemente čine definicije, uobičajeni pojmovi i postulati (ili aksiomi), zatim teoremi, konstrukcije i dokazi.

- Poanta je ona koja nema dijelova.

- Crta je duljina koja nema širinu.

- Ravna linija je ona koja se ravnopravno nalazi u odnosu na točke koje su u njoj.

- Ako su dvije linije presječene tako da su susjedni kutovi jednaki, kutovi se nazivaju ravnim linijama, a pravci se nazivaju okomitim.

- Paralelne linije su one koje se, nalaze se u istoj ravnini, nikada ne presijecaju.

Nakon ovih i drugih definicija, Euclid nam donosi popis pet postulata i pet pojmova.

Uobičajeni pojmovi

- Dvije stvari koje su jednake trećini jednake su jedna drugoj.

- Ako se istim stvarima dodaju iste, rezultati su isti.

- Ako se oduzmu jednake stvari, jednake su stvari, a rezultati su jednaki.

- Stvari koje se međusobno podudaraju jednake su jedna drugoj.

- Ukupno je veće od dijela.

Postulati ili aksiomi

- Jedna i samo jedna linija prolazi kroz dvije različite točke.

- Ravne se linije mogu produžavati u nedogled.

- Možete nacrtati krug s bilo kojim središtem i bilo kojim polumjerom.

- Svi pravi kutovi su jednaki.

- Ako ravna crta pređe dvije ravne linije, tako da se unutarnji kutovi iste strane dodaju na manje od dva prava kuta, tada će se dvije crte prelaziti na toj strani.

Ovaj posljednji postulat poznat je kao paralelni postulat i reformuliran je na sljedeći način: "Za točku izvan linije može se povući jedna paralela s danom linijom."

Primjeri

Zatim će neke teoreme Elemenata poslužiti za prikaz svojstava geometrijskih prostora u kojima je ispunjeno pet postulata Euklida; Uz to će ilustrirati logično-deduktivno obrazloženje koje koristi ovaj matematičar.

Prvi primjer

Prijedlog 1.4. (LAL)

Ako dva trokuta imaju dvije strane, a kut između njih je jednak, tada su ostale strane i ostali kutovi jednaki.

Demonstracija

Neka su ABC i A'B'C 'dva trokuta s AB = A'B', AC = A'C ', a kutovi BAC i B'A'C' jednaki. Pomaknimo trokut A'B'C 'tako da se A'B' podudara s AB, a taj kut B'A'C 'podudara se s kutom BAC.

Dakle, linija A'C 'podudara se s linijom AC, tako da se C' podudara s C. Tada se, po postulatu 1, linija BC mora podudarati s linijom B'C '. Stoga se dva trokuta podudaraju, pa su, prema tome, njihovi kutovi i stranice jednaki.

Drugi primjer

Prijedlog 1.5. (

Pretpostavimo da trokut ABC ima jednake strane AB i AC.

Dakle, trokuti ABD i ACD imaju dvije jednake strane, a kutovi između njih su jednaki. Dakle, prema prijedlogu 1.4, kutovi ABD i ACD su jednaki.

Treći primjer

Prijedlog 1.31

Možete izgraditi liniju paralelnu s linijom koju zadaje određena točka.

zgrada

Dajući liniju L i točku P, linija M se provlači kroz P i presijeca L. Zatim se pruži linija N kroz P koja presijeca L. Sada je linija N povučena kroz P, koja presijeca M, tvoreći kut jednak onome koji L tvori s M.

potvrđivanje

N je paralelna sa L.

Demonstracija

Pretpostavimo da L i N nisu paralelni i presijecaju se u točki A. Neka je B točka točka L izvan A. Razmotrimo liniju O koja prolazi kroz B i P. Zatim, O presijeca M pod kutovima koji zbroje manje od dvije ravno.

Zatim, sa 1.5, linija O mora presijecati liniju L s druge strane M, pa se L i O presijecaju u dvije točke, što je u suprotnosti s postulatom 1. Stoga L i N moraju biti paralelni.

Reference

1. Euklid. Elementi geometrije. Nacionalno autonomno sveučilište u Meksiku
2. Euklid. Prvih šest knjiga i jedanaesti i dvanaesti Euklidov element
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktika i povijest euklidske geometrije, Grupo Uvodnik Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Povijest matematike. Uredništvo Mir
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Ravna analitička geometrija. Uredništvo Venezolana CA