ANALITIČKA GEOMETRIJA: ONO ŠTO PROUČAVA, POVIJEST, PRIMJENE - MATEMATIKA - 2026

U Analitička geometrija proučava linije i geometrijski oblici primjenom osnovnih algebra tehnike i matematičku analizu u određenom koordinatnom sustavu.

Prema tome, analitička geometrija grana je matematike koja detaljno analizira sve podatke geometrijskih figura, odnosno volumen, kutove, područje, točke sjecišta, njihove udaljenosti, među ostalim.

Temeljna karakteristika analitičke geometrije je ta što omogućava prikaz geometrijskih figura pomoću formula.

Na primjer, obodi su predstavljeni polinomnim jednadžbama drugog stupnja, dok su linije izražene polinomnim jednadžbama prvog stupnja.

Analitička geometrija nastaje u sedamnaestom stoljeću zbog potrebe davanja odgovora na probleme koji do sada nisu imali rješenja. Njeni glavni predstavnici bili su René Descartes i Pierre de Fermat.

Danas ga mnogi autori ukazuju na revolucionarnu kreaciju u povijesti matematike, jer predstavlja početak moderne matematike.

Povijest analitičke geometrije

Izraz analitička geometrija nastao je u Francuskoj u sedamnaestom stoljeću zbog potrebe da se odgovore na probleme koji se nisu mogli riješiti korištenjem algebre i geometrije u izolaciji, ali rješenje je bilo u kombiniranoj uporabi obaju.

Glavni predstavnici analitičke geometrije

Tijekom sedamnaestog stoljeća dva su Francuza slučajno u životu provela istraživanje koje je na ovaj ili onaj način završilo u stvaranju analitičke geometrije. Ti ljudi su bili Pierre de Fermat i René Descartes.

Trenutno se smatra da je tvorac analitičke geometrije bio René Descartes. To je zbog činjenice da je on objavio svoju knjigu prije Fermata, a također u dubini s Descartesom na temu analitičke geometrije.

Međutim, i Fermat i Descartes otkrili su da se crte i geometrijske figure mogu izraziti jednadžbama, a jednadžbe mogu biti izražene kao linije ili geometrijske figure.

Prema otkrićima koje su njih dvoje napravili može se reći da su obojica tvorci analitičke geometrije.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat bio je francuski matematičar rođen 1601. godine, a umro 1665. Tijekom života proučavao je geometriju Euklida, Apolonija i Papusa kako bi riješio probleme mjerenja koji su postojali u to vrijeme.

Kasnije su te studije pokrenule stvaranje geometrije. Na kraju su izraženi u njegovoj knjizi "Uvod u ravna i čvrsta mjesta" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), koja je objavljena 14 godina nakon njegove smrti 1679.

Pierre de Fermat je 1623. primijenio analitičku geometriju na Apollonijeve teoreme na geometrijskim mjestima. Bio je i prvi koji je primijenio analitičku geometriju na trodimenzionalni prostor.

Rene Descartes

Poznat i kao Cartesius, bio je matematičar, fizičar i filozof koji je rođen 31. ožujka 1596. u Francuskoj, a umro 1650.

René Descartes objavio je 1637. svoju knjigu "Diskurs o načinu ispravnog vođenja razuma i traženja istine u znanosti" poznatijoj kao "Metoda" i odatle je u svijet uveden pojam analitička geometrija. Jedan od njegovih priloga bio je "Geometrija".

Temeljni elementi analitičke geometrije

Analitička geometrija sastoji se od sljedećih elemenata:

Kartezijev koordinatni sustav

Ovaj je sistem nazvan po Renéu Descartesu.

Nije ga imenovao, niti onaj koji je dovršio kartuzijanski koordinatni sustav, već je on govorio o koordinatama s pozitivnim brojevima što je omogućilo budućim učenjacima da ga dovrše.

Ovaj sustav sastoji se od pravokutnog koordinatnog sustava i polarnog koordinatnog sustava.

Pravokutni koordinatni sustavi

Pravokutni koordinatni sustavi nazivaju se ravninom oblikovanom trasiranjem dviju brojevnih linija okomitih jedna na drugu, gdje se točka presjeka podudara sa zajedničkom nulom.

Tada bi se ovaj sustav sastojao od vodoravne crte i vertikalne.

Vodoravna crta je os X ili apsisa. Okomita crta bila bi osi Y ili ordinatna os.

Polarni koordinatni sustav

Ovaj je sustav zadužen za provjeru relativnog položaja točke u odnosu na fiksnu liniju i na fiksnu točku na liniji.

Kartezijanska jednadžba pravca

Ova jednadžba dobiva se iz pravca kada su poznate dvije točke kroz koje prolazi.

Ravna crta

Ona je koja ne odstupa i zbog toga nema ni krivulja ni kutova.

konika

Oni su krivulje definirane crtama koje prolaze kroz fiksnu točku i točkama krivulje.

Elipsa, opseg, parabola i hiperbola su stožaste krivulje. Svaki od njih je opisan u nastavku.

Opseg

Kruženje se naziva zatvorena ravnina krivulje koja je formirana od svih točaka ravnine koje su jednake udaljenosti od unutarnje točke, to jest, od središta oboda.

parabola

To je mjesto točaka u ravnini koje su jednake udaljenosti od fiksne točke (fokusa) i fiksne crte (directrix). Dakle, direktrix i fokus su ono što definira parabolu.

Parabola se može dobiti kao presjek stožčaste površine obrtaja kroz ravninu paralelnu s generaratrikom.

Elipsa

Zatvorena krivulja koja opisuje točku pri kretanju u ravnini naziva se elipse na način da je zbroj njenih udaljenosti do dvije (2) fiksne točke (zvane žarišta) konstantan.

Hiperbola

Hiperbolom se naziva krivulja definirana kao mjesto lociranja točaka u ravnini, za koje je razlika između udaljenosti dviju fiksnih točaka (žarišta) konstantna.

Hiperbola ima os simetrije koja prolazi kroz žarišta, a naziva se žarišna os. Također ima još jedan, a to je bisektor segmenta koji na svojim krajevima ima fiksne točke.

Prijave

Postoji mnogo primjena analitičke geometrije u različitim područjima svakodnevnog života. Na primjer, parabolu, jedan od temeljnih elemenata analitičke geometrije, možemo pronaći u mnogim alatima koji se danas koriste svakodnevno. Neki od ovih alata su sljedeći:

Satelitska antena

Parabolične antene imaju reflektor koji nastaje kao rezultat parabole koja se rotira na osi navedene antene. Površina koja nastaje kao rezultat ove akcije naziva se paraboloidom.

Ova sposobnost paraboloida naziva se optičkim svojstvom ili svojstvom refleksije parabole, a zahvaljujući tome moguće je da paraboloid reflektira elektromagnetske valove koje prima od mehanizma za hranjenje koji čini antenu.

Viseći mostovi

Kad konop podupire homogenu težinu, ali je istovremeno znatno veća od težine samog užeta, rezultat će biti parabola.

Ovo je načelo temeljno za izgradnju ovjesnih mostova, koji su obično podržani širokim čeličnim kabelskim konstrukcijama.

Princip prispodobe u ovjesnim mostovima korišten je u građevinama poput mosta Golden Gate, smještenom u gradu San Francisco, u Sjedinjenim Državama, ili Velikog mosta prolaza Akashi, koji se nalazi u Japanu i povezuje otok Awaji s Honshūom, glavnim otokom te zemlje.

Astronomska analiza

Analitička geometrija također je imala vrlo specifične i odlučujuće uporabe u području astronomije. U ovom slučaju, element analitičke geometrije koji zauzima središnju fazu je elipsa; Zakon gibanja planeta Johannesa Keplera to odražava.

Kepler, njemački matematičar i astronom, utvrdio je da je elipsa krivulja koja najbolje odgovara gibanju Marsa; Prethodno je testirao kružni model koji je predložio Kopernik, ali usred svojih eksperimenata zaključio je da je elipsa služila za crtanje orbite savršeno slične planeti koju je proučavao.

Zahvaljujući elipsi, Kepler je uspio potvrditi da se planeti kreću u eliptičnoj orbiti; ovo razmatranje bila je izjava takozvanog drugog zakona Keplera.

Iz ovog otkrića, kojeg je kasnije obogatio engleski fizičar i matematičar Isaac Newton, bilo je moguće proučiti orbitacijska kretanja planeta i povećati znanje o svemiru čiji smo dio.

Cassegrain teleskop

Teleskop Cassegrain nazvan je po svom izumitelju, fizičaru rođenom u Francuskoj, Laurent Cassegrain. U ovom se teleskopu koriste načela analitičke geometrije, jer se uglavnom sastoji od dva zrcala: prvo je konkavno i parabolično, a drugo karakterizira konveksno i hiperbolično.

Položaj i priroda tih zrcala omogućavaju da se defekt poznat kao sferna aberacija ne dogodi; Taj kvar sprečava da se svjetlosne zrake odražavaju u fokusu određene leće.

Teleskop Cassegrain vrlo je koristan za planetarno promatranje, a vrlo je svestran i jednostavan za upotrebu.

Reference

1. Analitička geometrija. Preuzeto 20. listopada 2017. s britannica.com
2. Analitička geometrija. Preuzeto 20. listopada 2017. s encyclopediafmath.org
3. Analitička geometrija. Preuzeto 20. listopada 2017. s khancademy.org
4. Analitička geometrija. Preuzeto 20. listopada 2017. s wikipedia.org
5. Analitička geometrija. Preuzeto 20. listopada 2017. s whitman.edu
6. Analitička geometrija. Preuzeto 20. listopada 2017. s stewartcalculus.com
7. Ravna analitička geometrija Preuzeto 20. listopada 2017