INJEKTIVNA FUNKCIJA: ŠTO JE, ČEMU SLUŽI I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Injektivna Funkcija je svaki odnos elemenata domene s jednim elementom kodomena. Poznate i kao funkcija jedan na jedan (1 - 1), one su dio klasifikacije funkcija s obzirom na način povezanosti njihovih elemenata.

Element kodne domene može biti samo slika jednog elementa domene, pri čemu se vrijednosti ovisne varijable ne mogu ponoviti.

Izvor: Autor.

Jasan primjer bila bi grupiranje muškaraca s poslovima u skupini A, a u skupini B svi šefovi. Funkcija F bit će ona koja svakog radnika povezuje sa svojim šefom. Ako je svaki radnik povezan s drugim šefom preko F, tada će F biti injektivna funkcija.

Da bi se funkcija smatrala injektivnom, mora se ispuniti sljedeće:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Ovo je algebarski način kazivanja Za svaki x ₁ različit od x ₂ imamo F (x ₁) različit od F (x ₂).

Koje su funkcije ubrizgavanja?

Injektivnost je svojstvo kontinuiranih funkcija, jer osiguravaju dodjeljivanje slika svakom elementu domene, što je bitan aspekt u kontinuitetu funkcije.

Pri crtanju crte paralelne s osi X na grafu injektivne funkcije, graf se treba dodirivati ​​samo u jednoj točki, bez obzira na kojoj visini ili veličini Y je crta crta. Ovo je grafički način za testiranje injektivnosti funkcije.

Drugi način provjere je li funkcija injektivna je rješavanjem nezavisne varijable X u zavisnosti od varijable Y. Tada se mora provjeriti sadrži li domena ovog novog izraza realne brojeve, istodobno kao i za svaku vrijednost Y postoji jedna vrijednost X.

Odnosi funkcija ili reda poklapaju se, između ostalog, i nota F: D _f → C _f

Što se čita F koji ide od D _f do C _f

Gdje se funkcija F odnosi na skupove Domain i Codomain. Poznati i kao startni i završni set.

Domena D _f sadrži dozvoljene vrijednosti za nezavisnu varijablu. Kododina C _f sastoji se od svih vrijednosti dostupnih zavisnoj varijabli. Elementi C _{f koji se} odnose na D _f poznati su kao raspon funkcije (R _f).

Funkcijsko kondicioniranje

Ponekad se funkcija koja nije injektivna može podvrgnuti određenim uvjetima. Ovi novi uvjeti mogu ga učiniti injektivnom. Vrijedne su sve vrste modifikacija domene i kodne domene gdje je cilj ispuniti svojstva inektivnosti u odgovarajućem odnosu.

Primjeri funkcija ubrizgavanja s riješenim vježbama

Primjer 1

Neka je funkcija F: R → R definirana pravcem F (x) = 2x - 3

A:

Izvor: Autor.

Uočeno je da za svaku vrijednost domene postoji slika u kodomenu. Ova je slika jedinstvena po tome što F čini injektivnom funkcijom. To se odnosi na sve linearne funkcije (funkcije čiji je najviši stupanj varijable jedna).

Izvor: Autor.

Primjer 2

Neka je funkcija F: R → R definirana F (x) = x ² +1

Izvor: Autor

Prilikom crtanja vodoravne crte uočava se da se graf nalazi više puta. Zbog toga funkcija F nije injektivna sve dok je definirano R → R

Nastavljamo da uvjetujemo domenu funkcije:

F: R ⁺ U {0} → R

Izvor: Autor

Sada neovisna varijabla ne uzima negativne vrijednosti, na taj se način izbjegava ponavljanje rezultata i funkcija F: R ⁺ U {0} → R definirana s F (x) = x ² + 1 je injektivna.

Drugo homologno rješenje bilo bi ograničiti domenu na lijevu stranu, odnosno ograničiti funkciju na samo negativne i nulte vrijednosti.

Nastavljamo uvjetovati domenu funkcije

F: R ^- U {0} → R

Izvor: Autor

Sada neovisna varijabla ne uzima negativne vrijednosti, na taj se način izbjegava ponavljanje rezultata i funkcija F: R ^- U {0} → R definirana s F (x) = x ² + 1 je injektivna.

Trigonometrijske funkcije imaju valna ponašanja, gdje je vrlo često pronaći ponavljanja vrijednosti u zavisnoj varijabli. Kroz specifično kondicioniranje, na temelju prethodnog znanja o ovim funkcijama, možemo smanjiti domenu da bismo zadovoljili uvjete injektivnosti.

Primjer 3

Neka je funkcija F: → R definirana s F (x) = Cos (x)

U intervalu kosinus funkcija mijenja rezultate između nule i jedan.

Izvor: Autor.

Kao što se može vidjeti na grafu. Počinje od nule na x = - π / 2, a zatim doseže maksimum na nuli. Nakon x = 0, vrijednosti se počinju ponavljati, sve dok se na x = π / 2 ne vrate na nulu. Na taj je način poznato da F (x) = Cos (x) nije intervalno za interval.

Prilikom proučavanja grafa funkcije F (x) = Cos (x), promatraju se intervali u kojima se ponašanje krivulje prilagođava kriterijima injektivnosti. Kao što je interval

Gdje funkcija varira rezultira od 1 do -1, bez ponavljanja bilo koje vrijednosti u zavisnoj varijabli.

Na ovaj način funkcijska funkcija F: → R definirana s F (x) = Cos (x). Injektivan je

Postoje nelinearne funkcije u kojima se događaju slični slučajevi. Za izraze racionalnog tipa, gdje nazivnik sadrži najmanje jednu varijablu, postoje ograničenja koja sprečavaju injektivnost odnosa.

Primjer 4

Neka je funkcija F: R → R definirana F (x) = 10 / x

Funkcija je definirana za sve stvarne brojeve, osim {0} koji ima neodređenost (Ne može se podijeliti s nulom) .

Kako se ovisna varijabla približava nuli s lijeve strane, uzima vrlo velike negativne vrijednosti, a odmah nakon nule vrijednosti ovisne varijable uzimaju velike pozitivne brojke.

Taj poremećaj čini izraz F: R → R definiran F (x) = 10 / x

Nemojte biti inektivni.

Kao što se vidi u prethodnim primjerima, isključenje vrijednosti u domeni služi "popravljanju" tih neodređenosti. I dalje isključujemo nulu iz domene, ostavljajući početne i završne skupove definirane na sljedeći način:

R - {0} → R

Tamo gdje R - {0} simbolizira real, osim skupa čiji je jedini element nula.

Na ovaj način, izraz F: R - {0} → R definiran s F (x) = 10 / x je injektivan.

Primjer 5

Neka je funkcija F: → R definirana s F (x) = Sen (x)

U intervalu sinusna funkcija mijenja rezultate između nule i jedan.

Izvor: Autor.

Kao što se može vidjeti na grafu. Počinje od nule kod x = 0, a zatim doseže maksimum na x = π / 2. Nakon x = π / 2, vrijednosti se počinju ponavljati, sve dok se na x = π ne vrate na nulu. Na taj način znamo da F (x) = Sen (x) nije injektivan za interval.

Prilikom proučavanja grafa funkcije F (x) = Sen (x), promatraju se intervali u kojima se ponašanje krivulje prilagođava kriterijima injektivnosti. Kao što je interval

Gdje funkcija varira rezultira od 1 do -1, bez ponavljanja bilo koje vrijednosti u zavisnoj varijabli.

Na ovaj način funkcija F: → R definirana s F (x) = Sen (x). Injektivan je

Primjer 6

Provjerite je li funkcija F: → R definirana s F (x) = Tan (x)

F: → R definirano s F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R definirano linijom F (x) = 7x + 2

Reference

1. Uvod u logiku i kritičko mišljenje. Merrilee H. Salmon. Sveučilište u Pittsburghu
2. Problemi u matematičkoj analizi. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Sveučilište u Vroclavu. Poljska.
3. Elementi apstraktne analize. Mícheál O'Searcoid, dr. Sc. Odjel za matematiku. Sveučilišni fakultet Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Uvod u logiku i metodologiju deduktivnih znanosti. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
5. Načela matematičke analize. Enrique Linés Escardó. Uredništvo Reverté S. A 1991. Barcelona, ​​Španjolska.