HOMOGRAFSKA FUNKCIJA: KAKO GRAFIKOVATI, RIJEŠENE VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Funkcija homografnih ili racionalno ng je vrsta matematičke funkcije sastoji od polinoma division dvije komponente. Ona se pokorava obliku P (x) / Q (x), pri čemu Q (x) ne može imati nultu formu.

Na primjer, izraz (2x - 1) / (x + 3) odgovara homografskoj funkciji s P (x) = 2x - 1 i Q (x) = x + 3.

Izvor: pixabay.com

Homografske funkcije čine dio proučavanja analitičkih funkcija koji se tretiraju iz grafičkog pristupa i iz istraživanja domene i raspona. To je zbog ograničenja i razloga koji se moraju primijeniti za vaše rezolucije.

Što je homografska funkcija?

Oni su racionalni izrazi jedne varijable, iako to ne znači da ne postoji sličan izraz za dvije ili više varijabli, gdje bi već bio u prisutnosti tijela u prostoru koja poslušavaju iste obrasce kao i homografska funkcija u ravnini.

Oni u nekim slučajevima imaju stvarne korijene, ali uvijek se održava postojanje vertikalnih i horizontalnih asimptota, kao i intervali rasta i opadanja. Obično je prisutan samo jedan od ovih trendova, ali postoje izrazi koji su sposobni pokazati i jedno i drugo u svom razvoju.

Njegova je domena ograničena korijenom nazivnika, budući da ne postoji podjela na nulu stvarnih brojeva.

Mješovita homografska funkcija

Vrlo su česti u proračunu, posebno diferencirani i integralni, jer su potrebni za dobivanje i anti-derivat po određenim formulama. Neke od najčešćih navedene su u nastavku.

Čak i nji korijen homografske funkcije

Isključite sve elemente domene koji argument čine negativnim. Korijeni prisutni u svim vrijednostima prinosa polinola nula kada se procjenjuju.

Te vrijednosti prihvaća radikal, mada se mora uzeti u obzir temeljno ograničenje homografske funkcije. Tamo gdje Q (x) ne može dobiti nulte vrijednosti.

Rješenja intervala moraju se presresti:

Za postizanje rješenja presjeka, između ostalog, može se koristiti metoda znakova.

Logaritam homografske funkcije

Također je uobičajeno pronaći oba izraza u jednom, među ostalim moguće kombinacije.

Kako crtati homografsku funkciju?

Homografske funkcije grafički odgovaraju hiperbolama u ravnini. Koji se transportiraju vodoravno i okomito prema vrijednostima koje definiraju polinom.

Postoji nekoliko elemenata koje moramo definirati da bismo oblikovali racionalnu ili homografsku funkciju.

imanje

Prvi će biti korijeni ili nule funkcija P i Q.

Ostvarene vrijednosti će biti označene na x-osi grafikona. Označavanje sjecišta grafa s osi.

Vertikalna asimptota

Odgovaraju okomitim linijama, koje graficiraju graf u skladu s trendovima koje predstavljaju. Oni dodiruju osi x u vrijednostima koje nazivaju nulu i nikada ih neće dotaknuti grafikon homografske funkcije.

Vodoravna asimptota

Prikazana vodoravnom linijom uboda označava granicu za koju funkcija neće biti definirana u točnoj točki. Trendovi će se promatrati prije i nakon ovog retka.

Da bismo ga izračunali, moramo pribjeći metodi sličnoj L'Hopitalovoj metodi, koja se koristi za rješavanje granica racionalnih funkcija koje teže beskonačnosti. Moramo uzeti koeficijente najvećih moći u brojaču i nazivniku funkcije.

Na primjer, sljedeći izraz ima vodoravnu asimptotu na y = 2/1 = 2.

Interval rasta

Ordinatne vrijednosti imat će trendove označene na grafikonu zbog asimptota. U slučaju rasta, funkcija će se povećavati u vrijednostima jer se elementi domene ocjenjuju s lijeva na desno.

Smanjivanje intervala

Vrijednosti ordinata smanjuju se kako se elementi domene procjenjuju s lijeva na desno.

Skokovi pronađeni u vrijednostima neće se uzimati u obzir kako se povećavaju ili smanjuju. To se događa kada je graf blizu vertikalne ili vodoravne asimptote, pri čemu vrijednosti mogu varirati od beskonačnosti do negativne beskonačnosti i obrnuto.

Y raskrižje

Postavljanjem vrijednosti x na nulu, pronalazimo presretanje s ordiniranom osi. Ovo je vrlo koristan podatak za dobivanje grafikona racionalne funkcije.

Primjeri

Definirajte graf sljedećih izraza, pronađite njihove korijene, vertikalne i vodoravne asimptote, intervale povećanja i smanjenja i sjecišta s ordiniranom osi.

Vježba 1

Izraz nema korijena, jer ima konstantnu vrijednost u brojniku. Ograničenje koje se primjenjuje bit će x različito od nule. S vodoravnom asimptotom na y = 0, a vertikalnom asimptotom na x = 0. Nema točke sjecišta s osi y.

Uočeno je da nema intervala rasta čak ni uz skok s minusa na plus beskonačnost na x = 0.

Interval smanjenja je

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Vježba 1.2

Promatramo 2 polinoma kao u početnoj definiciji, pa postupamo prema utvrđenim koracima.

Pronađeni korijen je x = 7/2, što je rezultat postavljanja funkcije jednake nuli.

Vertikalna asimptota je na x = - 4, što je vrijednost isključena iz domene uvjetom racionalne funkcije.

Vodoravna asimptota je na y = 2, to je nakon dijeljenja 2/1, koeficijenata varijabli stupnja 1.

Ima y-presretanje = - 7/4. Vrijednost pronađena nakon izjednačavanja x s nulom.

Funkcija neprestano raste, s skokom iz plusa u minus beskonačnost oko korijena x = -4.

Njegov interval rasta je (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Kad se vrijednost x približi minus beskonačnosti, funkcija uzima vrijednosti blizu 2. Isto se događa i kada se x približi više beskonačnosti.

Izraz se približava plus beskonačnosti kad se procjenjuje na - 4 s lijeve strane, a minus beskonačnost kad se ocjenjuje na - 4 s desne strane.

Vježba 2

Promatra se graf sljedeće homografske funkcije:

Opišite njegovo ponašanje, korijene, vertikalne i vodoravne asimptote, intervale rasta i smanjenja te sjecišta s ordiniranom osi.

Naziv izričaja govori nam tako što faktoriramo razliku vrijednosti kvadrata (x + 1) (x - 1) vrijednosti korijena. Na taj se način obje vertikalne asimptote mogu definirati kao:

x = -1 i x = 1

Vodoravna asimptota odgovara osi apscese jer je najveća snaga u nazivniku.

Njezin jedini korijen definiran je s x = -1/3.

Izraz se uvijek smanjuje s lijeva na desno. Približava se nuli kada se približava beskonačnosti. Minus beskonačnosti kada se približite -1 s lijeve strane. Plus beskonačnost dok se približava -1 s desne strane. Manje beskonačnosti kada se približava 1 s lijeve strane i više beskonačno kad se približava 1 s desne strane.

Reference

1. Usklađivanje s racionalnim funkcijama. Donald J. Newman. Američki matematički soc., 31. prosinca. 1979
2. Ortogonalne racionalne funkcije. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13. veljače. 1999
3. Racionalno približavanje stvarnih funkcija. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. ožujka. 2011
4. Algebarske funkcije. Gilbert Ames Bliss. Kurirska korporacija, 1. siječnja 2004
5. Časopis Španjolskog matematičkog društva, svesci 5-6. Španjolsko matematičko društvo, Madrid 1916