FAKTORING: METODE I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Faktorizacija je metoda kojom polinom se izražava kao množenja faktora, koji mogu biti brojevi ili slova ili oboje. Za faktor se faktori koji su zajednički pojmovima grupiraju u skupinu i na taj se način polinom raspada na nekoliko polinoma.

Stoga, kada se faktori množe zajedno, rezultat je izvorni polinom. Faktoring je vrlo korisna metoda kada imate algebarske izraze, jer se ona može pretvoriti u množenje nekoliko jednostavnih izraza; na primjer: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Postoje slučajevi u kojima se polinom ne može uzeti u obzir jer ne postoji zajednički faktor između njegovih izraza; stoga su ovi algebrski izrazi djeljivi samo na sebe i na 1. Na primjer: x + y + z.

U algebarskom izrazu zajednički je faktor najveći zajednički razdjelnik pojmova koji ga čine.

Metode faktoringa

Postoji nekoliko faktoring metoda koje se primjenjuju ovisno o slučaju. Neki od njih su sljedeći:

Faktoring po zajedničkom faktoru

U ovoj se metodi identificiraju oni zajednički faktori; to jest onih koja se ponavljaju izrazima. Tada se primjenjuje svojstvo distribucije, uzima se najveći zajednički djelitelj i faktoring je dovršen.

Drugim riječima, identificira se zajednički faktor izraza i svaki izraz ga dijeli; Rezultirajući pojmovi množit će se s najvećim zajedničkim djeliteljem da bi se izrazio faktorizacija.

Primjer 1

Faktor (b ² x) + (b ² y).

Riješenje

Prvo se pronalazi zajednički faktor svakog pojma, koji je u ovom slučaju b ², a zatim se izrazi dijele sa zajedničkim faktorom kako slijedi:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktorizacija se izražava množenjem zajedničkog faktora s rezultirajućim izrazima:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Primjer 2

Faktor (2a ² b ³) + (3ab ²).

Riješenje

U ovom slučaju imamo dva čimbenika koja se ponavljaju u svakom izrazu i predstavljaju "a" i "b", i koji se podižu na snagu. Da bismo ih odredili, dva su pojma najprije razgranata u svom dugom obliku:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Može se vidjeti da se faktor "a" ponavlja samo jednom u drugom terminu, a faktor "b" se u ovom slučaju ponavlja dva puta; tako da u prvom terminu ostaje samo 2, faktor "a" i faktor "b"; dok u drugom mandatu ostaje samo 3.

Stoga se vremena koja se ponavljaju „a“ i „b“ zapisuju i množe s faktorima koji su preostali od svakog izraza, kao što je prikazano na slici:

Grupisanje faktoringa

Kako nije u svim slučajevima najveći zajednički razdjelnik polinoma jasno je izražen, potrebno je poduzeti i druge korake kako bi se mogao ponovo napisati polinom i tako uzeti faktor.

Jedan od tih koraka je grupiranje termina polinoma u nekoliko skupina, a zatim upotreba metode zajedničkog faktora.

Primjer 1

Faktor ac + bc + oglas + bd.

Riješenje

Postoje 4 faktora kod kojih su dva uobičajena: u prvom je izraz "c", a u drugom je "d". Na ovaj se način dva pojma grupiraju i razdvajaju:

(ac + bc) + (ad + bd).

Sada je moguće primijeniti metodu zajedničkog faktora, tako da svaki pojam podijelimo s njegovim zajedničkim faktorom, a zatim taj zajednički faktor množimo s rezultirajućim izrazima, kao što je ovaj:

(ac + bc) / c = a + b

(oglas + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Sada dobivamo binom koji je zajednički za oba termina. Da bismo ga faktorirali množi se s preostalim faktorima; na taj način morate:

ac + bc + oglas + bd = (c + d) _* (a + b).

Inspekcijski faktoring

Ova metoda se koristi za raspodjelu kvadratnih polinoma, koji se nazivaju i trinomial; to jest one koje su strukturirane kao sjekira ² ± bx + c, gdje je vrijednost „a“ različita od 1. Ova metoda se također koristi kada trinomija ima oblik x ² ± bx + c i vrijednost „a“ = 1.

Primjer 1

Faktor x ² + 5x + 6.

Riješenje

Imamo kvadratni trinomal oblika x ² ± bx + c. Da biste ga izračunali, prvo morate pronaći dva broja koja, kada se množe, daju vrijednost «c» (tj. 6) i da je njihov zbroj jednak koeficijentu «b», što je 5. Ti brojevi su 2 i 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Dakle, izraz je pojednostavljen ovako:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Svaki se faktor uzima u obzir:

- Za (x ² + 2x) uzima se uobičajeni izraz: x (x + 2)

- Za (3x + 6) = 3 (x + 2)

Dakle, izraz je:

x (x +2) + 3 (x +2).

Kako imamo zajednički binom, da bismo smanjili izraz, množimo ga s ostalim izrazima i moramo:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Primjer 2

Faktor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Riješenje

Imamo kvadratni trinomija oblika ax ² ± bx + cy da bismo ga faktorirali, pomnoživši cijeli izraz s koeficijentom x ²; u ovom slučaju 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Sada moramo pronaći dva broja koja, pomnožena jedno s drugim, daju kao rezultat vrijednost "c" (što je 36) i koja, kada se dodaju, daju koeficijent izraza "a", koji je 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Na taj se način izraz prepisuje, uzimajući u obzir da je 4 ² a ² = 4a _* 4a. Stoga se distribucijsko svojstvo primjenjuje na svaki pojam:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Konačno, izraz se dijeli s koeficijentom ²; to jest 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Izraz je sljedeći:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoring s zapaženim proizvodima

Postoje slučajevi da, u potpunosti faktorirati polinom gore navedenim metodama, to je vrlo dug proces.

Zbog toga se izraz može razviti formulama izvanrednih proizvoda i samim tim postupak postaje jednostavniji. Među najkorištenijim najistaknutijim proizvodima su:

- Razlika dvaju kvadrata: (a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

- Savršeni kvadrat zbroja: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Savršeni kvadrat razlike: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Razlike dvije kocke: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

- Zbroj dvije kocke: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ²)

Primjer 1

Faktor (5 ² - x ²)

Riješenje

U ovom slučaju postoji razlika od dva kvadrata; stoga vrijedi izvanredna formula proizvoda:

(a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ²) = (5 - x) _* (5 + x)

Primjer 2

Faktor 16x ² + 40x + 25 ²

Riješenje

U ovom slučaju imate savršen kvadrat zbroja, jer možete identificirati dva pojma kvadrat, a pojam koji preostaje rezultat je množenja dva u kvadratni korijen prvog pojma, s kvadratnim korijenom drugog pojma.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Da bi se izračunali samo kvadratni korijeni prvog i trećeg pojma:

√ (16x ²) = 4x

√ (25 ²) = 5.

Tada su dva rezultirajuća izraza odvojena znakom operacije, a cijeli polinom je u kvadratu:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ².

Primjer 3

Faktor 27a ³ - b ³

Riješenje

Izraz predstavlja oduzimanje u kojem se nalaze dva faktora. Da bi ih se racunalo primijenila je formula za uočljivi proizvod razlike kocke koja je:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

Stoga, za faktor, uzima se kocka korena svakog termina binoma i množi se s kvadraturom prvog pojma, plus s proizvodom prvog na drugi pojam, plus drugim pojmom u kvadrat.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³) = 3a

³√ (-b ³) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ²)

Faktoring s Ruffinijevom vladavinom

Ova se metoda koristi kada imate polinom stupnja veće od dva, kako biste pojednostavili izraz na nekoliko polinoma nižeg stupnja.

Primjer 1

Faktor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Riješenje

Prvo tražimo brojeve koji su djelitelji od 12, što je neovisan pojam; To su ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 i ± 12.

Tada se x zamjenjuje ovim vrijednostima, od najnižih do najviših, i na taj način se određuje koja će od vrijednosti biti podjela točna; to jest, ostatak mora biti 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

I tako za svakog razdjelnika. U ovom slučaju, pronađeni faktori su za x = -1 i x = 2.

Sada se primjenjuje Ruffini metoda prema kojoj će se koeficijenti izraza podijeliti s pronađenim faktorima tako da je podjela točna. Polinomni pojmovi su poredani od najvišeg do najnižeg eksponenta; u slučaju da u slijedu nedostaje izraz sa sljedećim stupnjem, na njegovo mjesto postavlja 0.

Koeficijenti su smješteni u shemi kao što je prikazano na sljedećoj slici.

Prvi koeficijent se smanjuje i množi s djeliteljem. U ovom slučaju prvi djelitelj je -1, a rezultat se stavlja u sljedeći stupac. Tada se okomito dodaje vrijednost koeficijenta s dobivenim rezultatom i rezultat se postavlja ispod. Na taj se način postupak ponavlja do posljednjeg stupca.

Potom se isti postupak ponovno ponavlja, ali s drugim razdjelnikom (što je 2), jer se izraz i dalje može pojednostaviti.

Dakle, za svaki dobiveni korijen polinom će imati izraz (x - a), gdje je "a" vrijednost korijena:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

S druge strane, ovi se pojmovi moraju pomnožiti s ostatkom Ruffinijevih pravila 1: 1 i -6, koji su faktori koji predstavljaju stupanj. Na taj način nastaje izraz: (x ² + x - 6).

Dobivanje rezultata faktorizacije polinoma Ruffinijevom metodom je:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Konačno, polinom stupnja 2 koji se pojavljuje u prethodnom izrazu može se prepisati kao (x + 3) (x-2). Stoga je konačna faktorizacija sljedeća:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Reference

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Kako naučiti djecu o faktoringu polinoma.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Osnovna matematika s aplikacijama.
4. Roelse, PL (1997). Linearne metode polinomne faktorizacije preko konačnih polja: teorija i implementacije. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Prstenovi i faktorizacija.