UOBIČAJENI FAKTOR GRUPIRANJEM POJMOVA: PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Zajednički faktor grupiranjem pojmova je algebarski postupak koji vam omogućuje da pisati neke algebarske izraze u obliku faktora. Da biste postigli ovaj cilj, prvo morate pravilno grupirati izraz i primijetiti da svaka tako formirana skupina ima, ustvari, zajednički faktor.

Ispravna primjena tehnike zahtijeva određenu praksu, ali ni u jednom trenutku je ne ovladate. Pogledajmo prvo ilustrativni primjer opisan korak po korak. Tada čitatelj može primijeniti ono što su naučili u svakoj od vježbi koje će se pojaviti kasnije.

Slika 1. Uzimanje zajedničkog faktora grupiranjem izraza olakšava rad s algebarskim izrazima. Izvor: Pixabay.

Na primjer, pretpostavimo da morate imati u vidu sljedeći izraz:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Ovaj algebrični izraz sastoji se od 4 monomija ili pojmova, razdvojenih znakovima + i -, naime:

2x ², 2xy, -3zx, -3zy

Gledajući izbliza, x je uobičajeno za prva tri, ali nije posljednje, dok je y zajedničko drugom i četvrtom, a z je zajedničko za treću i četvrtu.

Dakle, u principu nema zajedničkog faktora za četiri pojma istovremeno, ali ako su oni grupirani kao što će biti prikazano u sljedećem odjeljku, moguće je da će se pojaviti jedan koji pomaže napisati izraz kao proizvod dva ili više čimbenici.

Primjeri

Faktor izraza: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

1. korak: grupiranje

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Korak 2: Pronađite zajednički faktor svake grupe

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Važno sam: negativni znak je također čest faktor koji se mora uzeti u obzir.

Sada imajte na umu da se zagrade (x + y) ponavljaju u dva termina dobivena grupiranjem. To je zajednički faktor koji se tražio.

Korak 3: Faktor cijelog izraza

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

S prethodnim rezultatom postignut je cilj faktoringa, koji nije ništa drugo nego transformiranje algebrskog izraza na temelju dodavanja i oduzimanja pojmova, u proizvod dva ili više faktora, u našem primjeru, od: (x + y) i (2x - 3z).

Važnim pitanjima o zajedničkom čimbeniku grupiranjem

Pitanje 1: Kako znati da je rezultat točan?

Odgovor: Svojstvo distribucije primjenjuje se na dobiveni rezultat, a nakon smanjenja i pojednostavljenja, tako postignut izraz mora se podudarati s izvornim, ako ne, postoji pogreška.

U prethodnom primjeru radimo obrnuto s rezultatom kako bismo provjerili je li točan:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Kako redoslijed dodataka ne mijenja zbroj, nakon primjene distributivnog svojstva vraćaju se svi izvorni izrazi, uključujući znakove, stoga je faktorizacija ispravna.

Pitanje 2: Može li se to grupirati na drugi način?

Odgovor: Postoje algebrski izrazi koji dopuštaju više oblika grupiranja i druge koji to ne čine. U odabranom primjeru čitatelj može isprobati i druge mogućnosti, na primjer ovako grupiranje:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

A možete provjeriti je li rezultat isti kao što je ovdje dobiven. Pronalaženje optimalnog grupiranja stvar je prakse.

Pitanje 3: Zašto je potrebno uzeti jedan zajednički faktor iz algebrskog izraza?

Odgovor: Budući da postoje aplikacije u kojima faktorski izraz olakšava izračune. Na primjer, pretpostavimo da želite postaviti 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy jednak 0. Koje su mogućnosti?

Da biste odgovorili na ovo pitanje, faktorski faktor je mnogo korisniji od izvornog razvoja u smislu. Navodi se ovako:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Jedna mogućnost da izraz vrijedi 0 je da je x = -y, bez obzira na vrijednost z. A drugo je da je x = (3/2) z, bez obzira na vrijednost y.

vježbe

- Vježba 1

Izdvojite zajednički faktor sljedećeg izraza grupiranjem pojmova:

ax + ay + bx + by

Riješenje

Prva dva su grupirana s zajedničkim faktorom "a", a posljednja dva sa zajedničkim faktorom "b":

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Nakon što je to učinjeno, otkriva se novi zajednički faktor, koji je (x + y), tako da:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Još jedan način grupiranja

Ovaj izraz podržava još jedan način grupiranja. Pogledajmo što se događa ako su pojmovi preuređeni i ako se napravi grupa s onima koji sadrže x, a drugi s onima koji sadrže y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Na ovaj je način novi zajednički faktor (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Što dovodi do istog rezultata iz prve grupe koja je testirana.

- Vježba 2

Sljedeći algebarski izraz treba pisati kao rezultat dva faktora:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Riješenje

Ovaj izraz sadrži 6 pojmova. Pokušajmo grupirati prvo i četvrto, drugo i treće i konačno peto i šesto:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab-3b ²)

Sada se svaki zagradski faktor uzima u obzir:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab -3b ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

Na prvi pogled čini se da se situacija zakomplicirala, ali čitatelja ne treba obeshrabriti, jer ćemo preispitati posljednji izraz:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Zadnja dva pojma sada imaju zajednički faktor, a to je (3b-a), pa se mogu uzeti u obzir. Vrlo je važno da ne izgubite iz vida prvi termin a ² (3a - 1), koji mora i dalje pratiti sve kao dodatak, čak i ako s njim ne radite:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Izraz je sveden na dva pojma, a u posljednjem je otkriven novi zajednički faktor, koji je "b". Sada ostaje:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Sljedeći zajednički faktor koji se pojavljuje je 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Ili ako više volite bez zagrade:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ²)

Može li čitatelj pronaći drugi način grupiranja koji vodi do istog rezultata?

Slika 2. Predložene vježbe faktoringa. Izvor: F. Zapata.

Reference

1. Baldor, A. 1974. Elementarna algebra. Kulturna Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
3. Glavni slučajevi faktoringa. Oporavilo od: julioprofe.net.
4. UNAM. Osnovna matematika: Faktorizacija grupisanjem pojmova. Fakultet računovodstva i uprave.
5. Zill, D. 1984. Algebra i trigonometrija. MacGraw Hill.