SAMOSTALNI DOGAĐAJI: DEMONSTRACIJA, PRIMJERI, VJEŽBE - DUDÁS - 2026

Dva događaja su neovisna, kad na vjerojatnost da se jedan od njih dogodi nije pod utjecajem činjenice da se drugi dogodi - ili se ne događa - s obzirom da se ti događaji događaju nasumično.

Ova se okolnost događa kad god proces koji generira rezultat događaja 1 ni na koji način ne mijenja vjerojatnost mogućih rezultata događaja 2. Ali ako se to ne dogodi, događaji se kažu da ovise.

Slika 1. Obojeni mramor često se koristi za objašnjenje vjerojatnosti neovisnih događaja. Izvor: Pixabay.

Situacija neovisnog događaja je sljedeća: pretpostavimo da su uvijene dvije šesterostrane kockice, jedna plava, a druga ružičasta. Vjerojatnost da će se 1 kotrljati na plavom matru neovisna je od vjerojatnosti da će se 1 valjati ili se ne valjati na ružičastom matricu.

Drugi slučaj dva neovisna događaja je slučaj bacanja novčića dva puta zaredom. Rezultat prvog bacanja neće ovisiti o rezultatu drugog i obrnuto.

Dokaz dvaju neovisnih događaja

Da bismo potvrdili da su dva događaja neovisna, definirat ćemo pojam uvjetne vjerojatnosti jednog događaja s obzirom na drugi. Za to je potrebno razlikovati ekskluzivne događaje od inkluzivnih događaja:

Dva događaja su isključiva ako moguće vrijednosti ili elementi događaja A nemaju ništa zajedničko s vrijednostima ili elementima događaja B.

Stoga je u dva isključiva događaja skup sjecišta A s B vakuum:

Izuzimajući događaje: A∩B = Ø

Naprotiv, ako su događaji inkluzivni, može se dogoditi da se rezultat događaja A podudara s rezultatom drugog B, s tim da su A i B različiti događaji. U ovom slučaju:

Inkluzivni događaji: A∩B ≠ Ø

To nas vodi do definiranja uvjetne vjerojatnosti dva uključiva događaja, drugim riječima, vjerojatnosti pojave događaja A, kad god se dogodi događaj B:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Stoga je uvjetna vjerojatnost vjerojatnost da će se dogoditi A i B podijeljena s vjerojatnošću da će se pojaviti B. Mogućnost da će se B pojaviti uvjetno na A također se može definirati:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kriteriji za znati jesu li dva događaja neovisna

Dalje ćemo dati tri kriterija kako bismo znali jesu li dva događaja neovisna. Dovoljno je da se ispuni jedno od tri, kako bi se pokazala neovisnost događaja.

1.- Ako je vjerojatnost da se A pojavi kad god se B dogodi jednaka vjerojatnosti A, tada su to neovisni događaji:

P (A¦B) = P (A) => A je neovisan o B

2.- Ako je vjerojatnost da se B dogodi dat A jednaka vjerojatnosti B, tada postoje neovisni događaji:

P (B¦A) = P (B) => B je neovisan od A

3.- Ako je vjerojatnost da se A i B dogode jednaka proizvodu vjerojatnosti da se A dogodi i vjerojatnosti da se B dogodi, tada su to neovisni događaji. Suprotno je također istinito.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A i B su neovisni događaji.

Primjeri neovisnih događaja

Uspoređuju se gumeni potplati koje proizvode dva različita dobavljača. Uzorci svakog proizvođača podvrgnuti su nekoliko ispitivanja iz kojih se zaključuje jesu li unutar specifikacija ili ne.

Slika 2. Raznolikost gumenih potplata. Izvor: Pixabay.

Rezultirajući rezime 252 uzorka je sljedeći:

Proizvođač 1; 160 zadovoljavaju specifikacije; 8 ne zadovoljavaju specifikacije.

Proizvođač 2; 80 ispunjavaju specifikacije; 4 ne zadovoljavaju specifikacije.

Događaj A: "da je uzorak od proizvođača 1".

Događaj B: "da uzorak ispunjava specifikacije."

Želimo znati jesu li ti događaji A i B neovisni ili ne, za što primjenjujemo jedan od tri kriterija spomenuta u prethodnom odjeljku.

Kriterij: P (B¦A) = P (B) => B je neovisan od A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Zaključak: Događaji A i B su neovisni.

Pretpostavimo događaj C: "da uzorak potječe od proizvođača 2"

Hoće li događaj B biti neovisan od događaja C?

Primjenjujemo jedan od kriterija.

Kriterij: P (B¦C) = P (B) => B je neovisan o C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Stoga, na temelju dostupnih podataka, vjerojatnost da nasumično odabrani gumeni potplat zadovoljava specifikacije, nije ovisna o proizvođaču.

Pretvorite neovisni događaj u ovisan događaj

Pogledajmo slijedeći primjer kako bismo razlikovali ovisne i neovisne događaje.

Imamo vrećicu s dvije kuglice od bijele čokolade i dvije crne kuglice. Vjerojatnost dobivanja bijele ili crne kugle jednaka je pri prvom pokušaju.

Pretpostavimo da je rezultat bio kugla. Ako se izvučena kuglica zamijeni u vrećici, ponavlja se izvorna situacija: dvije bijele kuglice i dvije crne kuglice.

Dakle, u drugom slučaju ili izvlačenju, šanse za izvlačenje kugle ili crne kugle identične su prvom trenutku. Oni su, dakle, neovisni događaji.

Ali ako igračka kugla izvučena u prvom slučaju ne bude zamijenjena jer smo je pojeli, u drugom izvlačenju veće su šanse za crtanje crne kugle. Vjerojatnost da će druga ekstrakcija ponovo dobiti bijelu razlikuje se od vjerojatnosti prvog događaja i uvjetovana je prethodnim rezultatom.

vježbe

- Vježba 1

U kutiju smo stavili 10 mramora slike 1, od kojih su 2 zelene boje, 4 su plave boje, a 4 su bijele. Dva mramora bit će odabrana nasumično, jedan prvi i jedan kasnije. Od njega se traži da se utvrdi

vjerojatnost da nijedna od njih nije plava, pod sljedećim uvjetima:

a) Zamjenom, odnosno vraćanjem prvog mramora prije drugog odabira u kutiju. Navedite jesu li neovisni ili ovisni događaji.

b) Bez zamjene, na način da prvi izvađeni mramor ostane izvan okvira u vrijeme drugog odabira. Slično navedite jesu li oni ovisni ili neovisni događaji.

Rješenje za

Izračunavamo vjerojatnost da prvi izvađeni mramor nije plav, što je 1 minus vjerojatnost da je plavi P (A), ili direktno da nije plav, jer je izašao zeleno ili bijelo:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (ne plava) = 1 - (2/5) = 3/5

O dobro:

P (zelena ili bijela) = 6/10 = 3/5.

Ako se izvučeni mramor vrati, sve je kao i prije. U ovom drugom izvlačenju također je vjerojatnost 3/5 da izvučeni mramor nije plav.

P (nije plava, nije plava) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Događaji su neovisni, budući da je izvađeni mramor vraćen u kutiju, a prvi događaj ne utječe na vjerojatnost pojave drugog.

Rješenje b

Za prvo vađenje postupite kao u prethodnom odjeljku. Vjerojatnost da nije plava je 3/5.

Za drugo vađenje imamo 9 mramora u vrećici, jer se prvi nije vratio, ali nije bio plav, dakle u torbi je 9 mramora i 5 nije plavo:

P (zelena ili bijela) = 5/9.

P (nijedno nije plavo) = P (prvo nije plavo). P (drugo nije plavo / prvo nije plavo) = (3/5). (5/9) = 1/3

U ovom slučaju to nisu neovisni događaji, jer prvi događaj uvjetuje drugi.

- Vježba 2

Trgovina ima 15 košulja u tri veličine: 3 male, 6 srednje i 6 velikih. 2 košulje su odabrane nasumično.

a) Kolika je vjerojatnost da su obje odabrane majice male, ako se jedna uzme prva i bez zamjene druge u partiji?

b) Kolika je vjerojatnost da su obje odabrane majice male, ako je jedna izvučena prva, zamijenjena u hrpi, a druga uklonjena?

Rješenje za

Evo dva događaja:

Događaj A: prva odabrana majica je mala

Događaj B: druga odabrana majica je mala

Vjerojatnost da se događaj A dogodi je: P (A) = 3/15

Vjerojatnost da se dogodi događaj B je: P (B) = 2/14, jer je košulja već bila uklonjena (preostalo je 14), ali osim toga, ako se želi ispuniti događaj A, prva uklonjena košulja mora biti mala i zato oba su 2 mala.

Odnosno, vjerojatnost da će A i B biti rezultat vjerojatnosti je:

P (A i B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Prema tome, vjerojatnost da se događaj A i B dogodi jednaka je proizvodu koji se dogodio A, što je i vrijeme vjerojatnije da će se događaj B dogoditi ako događaj A.

Treba napomenuti da:

P (B¦A) = 2/14

Vjerojatnost da se događaj B dogodi bez obzira na to dogodi li se događaj A ili ne bit će:

P (B) = (2/14) ako je prva mala, ili P (B) = 3/14 ako prva nije mala.

Općenito, može se zaključiti sljedeće:

P (B¦A) nije jednak P (B) => B nije neovisan o A

Rješenje b

Opet se događaju dva događaja:

Događaj A: prva odabrana majica je mala

Događaj B: druga odabrana majica je mala

P (A) = 3/15

Sjetite se da bez obzira na rezultat, košulja izvučena iz serije zamijeni i opet se košulja povuče nasumično. Vjerojatnost da se događa B dogodi, ako se dogodio događaj A je:

P (B¦A) = 3/15

Vjerojatnost da će se dogoditi događaji A i B bit će:

P (A i B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Imajte na umu da:

P (B¦A) je jednak P (B) => B je neovisan o A.

- Vježba 3

Razmotrite dva neovisna događaja A i B. Poznato je da je vjerojatnost da se događaj A dogodi 0,2, a vjerojatnost da se događaj B dogodi 0,3. Kolika je vjerojatnost da se dogodi oba događaja?

2. rješenje

Znajući da su događaji neovisni, poznato je da je vjerojatnost da će se oba događaja dogoditi proizvod pojedinačnih vjerojatnosti. To znači

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Imajte na umu da je vjerojatnost daleko manja od vjerojatnosti da će se svaki događaj dogoditi bez obzira na ishod drugog. Ili, drugačije rečeno, mnogo niži od pojedinačnih kvota.

Reference

1. Berenson, M. 1985. Statistika za menadžment i ekonomiju. Interamericana SA 126-127.
2. Monterrey Institute. Vjerojatnost neovisnih događaja. Oporavilo sa: monterreyinstitute.org
3. Učitelj matematike. Nezavisni događaji. Oporavilo od: youtube.com
4. Superprof. Vrste događaja, ovisni događaji. Oporavak od: superprof.es
5. Virtualni učitelj. Vjerojatnost. Oporavilo od: vitutor.net
6. Wikipedia. Neovisnost (vjerojatnost). Oporavilo sa: wikipedia.com