Vektorski prostor je nonempty set V = { u, v, w,……} čiji su elementi vektora. S njima se provode neke važne operacije, među kojima su sljedeće:

- Zbroj dvaju vektora u + v Dobivena z, koji pripada postavljenog V.

- množenje pravog broja a pomoću vektora v: α v dajući drugi vektor , a pripadaju V.

Umjetnička vizija vektorskog prostora. Izvor: Pixabay

Za označavanje vektora koristimo podebljano (v je vektor), a za skalere ili brojeve grčka slova (α je broj).

Aksiomi i svojstva

Da bi se dao vektorski prostor, mora se nalaziti sljedećih osam aksioma:

1-komutabilnost: u + v = v + u

2-tranzitivnost: (u + v) + w = u + (v + w)

3 - postojanje nultog vektora 0 takvog da je 0 + v = v

4-postojanje suprotnog: suprotno od v je (- v), budući da je v + (- v) = 0

5-Distributivnost proizvoda s obzirom na vektorski zbroj: α (u + v) = α u + α v

6-Distributivnost proizvoda u odnosu na skalarni zbroj: (α + β) v = α v + β v

7-Asocijativnost skalarnog proizvoda: α (β v) = (α β) v

8-Broj 1 je neutralni element jer je: 1 v = v

Primjeri vektorskih prostora

Primjer 1

Vektori u (R²) ravnini su primjer vektorskog prostora. Vektor u ravnini je geometrijski objekt koji ima veličinu i smjer. Predstavljen je orijentiranim segmentom koji pripada navedenoj ravnini i veličinom proporcionalnom njegovoj veličini.

Zbroj dva vektora u ravnini može se definirati kao operacija geometrijskog prevođenja drugog vektora nakon prvog. Rezultat zbroja je orijentirani segment koji počinje od podrijetla prvog i doseže vrh drugog.

Na slici se vidi da je zbroj u R² komutativan.

Slika 2. Vektori u ravnini tvore vektorski prostor. Izvor: self made.

Definiran je i produkt broja α i vektora. Ako je broj pozitivan, zadrži se smjer izvornog vektora, a veličina je α veća od izvornog vektora. Ako je broj negativan, smjer je suprotan, a veličina rezultirajućeg vektora je apsolutna vrijednost broja.

Vektor nasuprot bilo vektor v je - v = (- 1) v.

Nutralni vektor je točka u ravnini R², a broj nula puta koliko vektor daje null vektor.

Sve što je rečeno ilustrirano je na slici 2.

Primjer 2

Skup P svih polinoma stupnja manji ili jednak dva, uključujući nulu stupnja, tvori skup koji zadovoljava sve aksiome vektorskog prostora.

Neka je polinom P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Zbroj dva polinoma definiran je: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Zbroj polinoma koji pripada skupu P je komutativan i tranzitivan.

Nulti polinom koji pripada skupu P je onaj koji ima sve svoje koeficijente jednake nuli:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Zbroj skalarnog α polinomom definiran je kao: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Suprotni polinom P (x) je -P (x) = (-1) P (x).

Iz svega gore navedenog proizlazi da je skup P svih polinoma stupnja manji ili jednak dva vektorski prostor.

Primjer 3

Skup M svih matrica m redaka xn stupaca čiji su elementi stvarni brojevi tvore pravi vektorski prostor, u odnosu na operacije dodavanja matrica i produkta broja matricom.

Primjer 4

Skup F kontinuiranih funkcija realne varijable tvore vektorski prostor budući da je moguće definirati zbroj dviju funkcija, množenje skalara pomoću funkcije, null funkciju i simetričnu funkciju. Oni također ispunjavaju aksiome koji karakteriziraju vektorski prostor.

Baza i dimenzija vektorskog prostora

Baza

Baza vektorskog prostora definirana je kao skup linearno neovisnih vektora tako da se iz linearne kombinacije njih može stvoriti bilo koji vektor tog vektorskog prostora.

Linearno kombiniranje dva ili više vektora sastoji se od umnožavanja vektora po nekom skalarnom obliku, a zatim ih vektorsko dodajući.

Na primjer, u vektorskom prostoru vektora u tri dimenzije formirane od R³, koristi se kanonska osnova definirana pomoću jediničnih vektora (veličine 1) i, j, k.

Gdje I = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). To su kartezijanski ili kanonski vektori.

Bilo koji vektor V koji pripada R³ zapisan je kao V = a i + b j + c k, što je linearna kombinacija osnovnih vektora i, j, k. Skalarnog ili brojevi a, b, c su poznati kao kartezijevog komponente V.

Kaže se također da osnovni vektori vektorskog prostora tvore generacijski skup vektorskog prostora.

Dimenzija

Dimenzija vektorskog prostora je kardinalni broj vektorske osnove za taj prostor; to jest broj vektora koji čine navedenu bazu.

Ovaj kardinal je maksimalni broj linearno neovisnih vektora tog vektorskog prostora, a ujedno je i minimalni broj vektora koji tvore generacijski skup tog prostora.

Baze vektorskog prostora nisu jedinstvene, ali sve baze istog vektorskog prostora imaju istu dimenziju.

Vektorski podprostor

Vektorski podprostor S vektorskog prostora V je podskup V u kojem su definirane iste operacije kao u V i ispunjava sve aksiome vektorskog prostora. Stoga će podprostor S također biti vektorski prostor.

Primjer vektorskog prostora su vektori koji pripadaju ravnini XY. Ovaj podprostor je podskup vektorskog prostora dimenzionalnosti većeg od skupa vektora koji pripadaju trodimenzionalnom prostoru XYZ.

Drugi primjer vektorskog podprostora S1 vektorskog prostora S koji je formiran od svih 2 × 2 matrica s stvarnim elementima je definiran u nastavku:

S druge strane, S2 definiran u nastavku, iako je podskup S, ne tvori vektorski podprostor:

Riješene vježbe

-Vježba 1

Neka su vektori V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) i V3 = (0, 0, 3) u R3.

a) Pokažite da su linearno neovisni.

b) Pokažite da oni čine osnovu u R³, jer se bilo koja trostruka (x, y, z) može zapisati kao linearna kombinacija V1, V2, V3.

c) Pronađite komponente trostruke V = (-3,5,4) u bazi V1, V2, V3.

Riješenje

Kriterij za prikazivanje linearne neovisnosti sastoji se u uspostavljanju sljedećeg skupa jednadžbi u α, β i γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

U slučaju da je jedino rješenje za ovaj sustav α = β = γ = 0, onda su vektori linearno neovisni, inače nisu.

Za dobivanje vrijednosti α, β i γ predlažemo sljedeći sustav jednadžbi:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Prvo vodi do α = 0, drugo α = -2 ∙ β, ali budući da je α = 0 tada je β = 0. Treća jednadžba implicira da je γ = (- 1/3) β, ali budući da je β = 0, tada je γ = 0.

Odgovor na

Zaključuje se da je skup linearno neovisnih vektora u R³.

Odgovor b

Sada napišemo trostruku (x, y, z) kao linearnu kombinaciju V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Gdje imate:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Prvi označava α = x, drugi β = (yx) / 2 i treći γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Na ovaj smo način pronašli generatore α, β i γ bilo kojeg trojca R3

Odgovor c

Krenimo dalje da pronađemo komponente trostruke V = (-3,5,4) u bazi V1, V2, V3.

Zamjenjujemo odgovarajuće vrijednosti u izrazima nađenim gore za generatore.

U ovom slučaju imamo: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

To je:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Do posljednjeg:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Zaključujemo da V1, V2, V3 čine osnovu u vektorskom prostoru R³ dimenzije 3.

-Vježba 2

Izrazite polinom P (t) = t² + 4t -3 kao linearnu kombinaciju P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t i P3 (t) = t + 3.

Riješenje

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

pri čemu treba odrediti brojeve x, y, z.

Množenjem i grupiranjem pojmova s ​​istim stupnjem u t, dobivamo:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Što nas vodi do sljedećeg sustava jednadžbi:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Rješenja ovog sustava jednadžbi su:

x = -3, y = 2, z = 4.

To je:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Vježba 3

Pokažite da su vektori v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) i v3 = (2, 1, -1, 1) od R⁴ linearno su neovisni.

Riješenje

Linearno kombiniramo tri vektora v1, v2, v3 i zahtijevamo da kombinacija doda nulot element R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

To znači

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

To nas vodi do sljedećeg sustava jednadžbi:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Oduzimajući prvi i četvrti imamo: -a + c = 0 što podrazumijeva a = c.

Ali ako pogledamo treću jednadžbu, imamo da je a = -c. Jedini način koji drži a = c = (- c) je da c bude 0, i stoga će a biti i 0.

a = c = 0

Ako ovaj rezultat priključimo u prvu jednadžbu, onda zaključujemo da je b = 0.

Konačno a = b = c = 0, tako da se može zaključiti da su vektori v1, v2 i v3 linearno neovisni.

Reference

1. Lipschutz, S. 1993. Linearna algebra. Drugo izdanje. McGraw-Hill. 167-198.