- Svojstva eneagona
- Redoviti enegon
- Područje enegona poznato je sa strane i apotema
- Područje poznatog enegona sa strane
- Perimetra pravilnog enegona poznata je sa njegove strane
- Perimetar enegona znao je njegov polumjer
- Kako napraviti običan enegon
- Primjeri
- Primjer 1
- Primjer 2
- Reference
Enegon je poligon s devet strane i devet vrhova, koji može i ne mora biti redovita. Naziv eneágono dolazi od grčkog i sastoji se od grčkih riječi ennea (devet) i gonon (ugao).
Alternativno ime deveterostranog poligona je nonagon, što dolazi od latinske riječi nonus (devet) i gonon (vertex). S druge strane, ako su strane ili kutovi eneagona nejednaki jedni prema drugima, tada imate nepravilan eneagon. Ako su, s druge strane, svih devet strana i devet uglova eneagona jednaki, onda je to običan eneagon.

Slika 1. Redoviti eneagon i nepravilni eneagon. (Vlastita obrada)
Svojstva eneagona
Za poligon s n strana zbroj njegovih unutarnjih kutova je:
(n - 2) * 180º
U enegonu bi bilo n = 9, pa je zbroj njegovih unutarnjih kutova:
Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º
U bilo kojem poligonu broj dijagonala je:
D = n (n - 3) / 2, a u slučaju enegona, budući da je n = 9, tada imamo D = 27.
Redoviti enegon
U pravilnom eneagonu ili nonagonu postoji devet (9) unutarnjih kutova jednake mjere, pa svaki kut mjeri jednu devetinu od ukupnog zbroja unutarnjih kutova.
Mjera unutarnjih kutova enegona je tada 1260º / 9 = 140º.

Slika 2. Apotema, polumjer, stranice, kutovi i vrhovi pravilnog eneagona. (Vlastita obrada)
Za dobivanje formule za područje pravilnog enegona sa stranom d, prikladno je napraviti neke pomoćne konstrukcije, poput onih prikazanih na slici 2.
Središte O nalazi se pronalaskom bisektora dvije susjedne strane. Središte O je jednako od vrhova.
Polumjer duljine r je segment od središta O do vrha enegona. Na slici 2 prikazani su polumjeri OD i OE duljine r.
Apotema je segment od središta do sredine jedne strane enegona. Na primjer, SL je apotem, čija je duljina jednaka.
Područje enegona poznato je sa strane i apotema
Smatramo trokut ODE na slici 2. Područje tog trokuta je proizvod njegove baze DE i visine OJ podijeljeno s 2:
ODE područje = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2
Budući da u enegonu postoji 9 trokuta jednakog područja, zaključuje se da je područje istog:
Enegonsko područje = (9/2) (d * a)
Područje poznatog enegona sa strane
Ako je poznata samo duljina d stranica enegona, tada je potrebno pronaći duljinu apoteme da bi se formula primijenila u prethodnom odjeljku.
Smatramo pravi trokut OJE u J (vidi sliku 2). Ako se primijeni tangenta trigonometrijski omjer, dobivamo:
tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.
Kut ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, budući da je EO bisektor unutarnjeg kuta enegona.
S druge strane, SL je apotema duljine a.
Zatim, budući da je J srednja točka ED, slijedi da je EJ = d / 2.
Zamjenom prethodnih vrijednosti u odnosu tangenta imamo:
tan (70º) = a / (d / 2).
Sada razjasnimo duljinu apoteme:
a = (d / 2) tan (70º).
Prethodni rezultat supstituira se u formuli područja radi dobivanja:
Područje enegona = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))
Na kraju, pronalazimo formulu koja omogućava dobivanje područja pravilnog enegona ako je poznata samo duljina d njegovih strana:
Površina enegona = (9/4) d 2 tan (70º) = 6.1818 d 2
Perimetra pravilnog enegona poznata je sa njegove strane
Perimetar poligona je zbroj njegovih strana. U slučaju enegona, kako svaka od strana mjeri duljinu d, njegov će perimetar biti zbroj devet puta d, to jest:
Perimetar = 9 d
Perimetar enegona znao je njegov polumjer
Uzimajući u obzir pravi trokut OJE u J (vidi sliku 2), primjenjuje se omjer trigonometrijskog kosinusa:
cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r
Gdje je dobiven od:
d = 2r cos (70 °)
Supstituirajući ovaj rezultat, dobivamo formulu za obod kao funkciju polumjera enegona:
Perimetar = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r
Kako napraviti običan enegon
1- Da biste izradili pravilan eneagon, s ravnalom i kompasom, krenite od opsega c koji okružuje eneagon. (vidi sliku 3)
2- Dvije okomite crte povučene su kroz središte O oboda. Tada su presjeci A i B jedne od linija označeni obodom.
3- S kompasom, centriranjem na presretanju B i otvorom jednakim polumjeru BO, crta se luk koji presiječe izvorni obim u točki C.

Slika 3. Koraci za izgradnju pravilnog enegona. (Vlastita obrada)
4- Prethodni korak se ponavlja, ali čineći središte na A i polumjeru AO, crta se luk koji presijeca obod c u točki E.
5- Otvaranjem AC i središta u A crta se luk obima. Slično je s otvaranjem BE i sredinom B ucrtan drugi luk. Sjecište ova dva luka označeno je kao točka G.
6- Centriranje na G i otvaranje GA crta se luk koji presijeca sekundarnu os (u ovom slučaju horizontalno) u točki H. Sjecište sekundarne osi s izvornim obodom c označeno je kao I.
7- Dužina segmenta IH jednaka je duljini d strane enegona.
8- S otvorom kompasa IH = d, lukovi središta A polumjera AJ, središta J polumjera AK, središta K polumjera KL i središta L polumjera LP se uvlače uzastopno.
9- Slično tome, počevši od A i s desne strane, crtaju se lukovi poluprečnika IH = d koji označavaju točke M, N, C i Q na izvornom obodu c.
10- Konačno su izvučeni segmenti AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ i na kraju PB.
Treba napomenuti da način gradnje nije posve točan, jer se može provjeriti da je posljednja strana PB-a 0,7% dulja od ostalih strana. Do danas nije poznata metoda gradnje s ravnalom i kompasom koja je 100% točna.
Primjeri
Evo nekoliko obrađenih primjera.
Primjer 1
Želimo izgraditi pravilan enegon čija bočne stranice mjere 2 cm. Koji polumjer mora imati opseg koji ga zaobilazi, tako da se primjenom prethodno opisane konstrukcije dobije željeni rezultat?
U prethodnom odlomku je izvedena formula koja povezuje polumjer r opisanog kruga sa stranom d pravilnog enegona:
d = 2r cos (70 °)
Rješavanje za r iz prethodnog izraza imamo:
r = d / (2 cos (70º)) = 1,44619 * d
Zamjena vrijednosti d = 2 cm u prethodnoj formuli daje polumjer r od 2,92 cm.
Primjer 2
Koje je područje pravilnog enegona sa stranom 2 cm?
Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se pozabaviti prethodno prikazanom formulom koja nam omogućava da pronađemo područje poznatog enegona duljinom d njegove strane:
Površina enegona = (9/4) d 2 tan (70º) = 6.1818 d 2
Zamijenivši d za njegovu vrijednost 2 cm u prethodnoj formuli, dobivamo:
Površina Eagogona = 24,72 cm
Reference
- CEA (2003). Elementi geometrije: s vježbama i kompasom. University of Medellin.
- Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Redakcija Patria.
- Freed, K. (2007). Otkrijte poligone. Benchmark Education Company.
- Hendrik, V. (2013). Generalizirani poligoni. Birkhauser.
- Iger. (SF). Matematika prvi semestar Tacaná. Iger.
- Jr. geometrija. (2014). Poligona. Lulu Press, Inc.
- Miller, Heeren i Hornsby. (2006). Matematika: obrazloženje i aplikacije (deseto izdanje). Pearson Education.
- Patiño, M. (2006). Matematika 5. Urednički zbornik.
