ENEAGON: SVOJSTVA, KAKO NAPRAVITI ENEAGON, PRIMJERI - MATEMATIKA

Enegon je poligon s devet strane i devet vrhova, koji može i ne mora biti redovita. Naziv eneágono dolazi od grčkog i sastoji se od grčkih riječi ennea (devet) i gonon (ugao).

Alternativno ime deveterostranog poligona je nonagon, što dolazi od latinske riječi nonus (devet) i gonon (vertex). S druge strane, ako su strane ili kutovi eneagona nejednaki jedni prema drugima, tada imate nepravilan eneagon. Ako su, s druge strane, svih devet strana i devet uglova eneagona jednaki, onda je to običan eneagon.

Slika 1. Redoviti eneagon i nepravilni eneagon. (Vlastita obrada)

Svojstva eneagona

Za poligon s n strana zbroj njegovih unutarnjih kutova je:

(n - 2) * 180º

U enegonu bi bilo n = 9, pa je zbroj njegovih unutarnjih kutova:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

U bilo kojem poligonu broj dijagonala je:

D = n (n - 3) / 2, a u slučaju enegona, budući da je n = 9, tada imamo D = 27.

Redoviti enegon

U pravilnom eneagonu ili nonagonu postoji devet (9) unutarnjih kutova jednake mjere, pa svaki kut mjeri jednu devetinu od ukupnog zbroja unutarnjih kutova.

Mjera unutarnjih kutova enegona je tada 1260º / 9 = 140º.

Slika 2. Apotema, polumjer, stranice, kutovi i vrhovi pravilnog eneagona. (Vlastita obrada)

Za dobivanje formule za područje pravilnog enegona sa stranom d, prikladno je napraviti neke pomoćne konstrukcije, poput onih prikazanih na slici 2.

Središte O nalazi se pronalaskom bisektora dvije susjedne strane. Središte O je jednako od vrhova.

Polumjer duljine r je segment od središta O do vrha enegona. Na slici 2 prikazani su polumjeri OD i OE duljine r.

Apotema je segment od središta do sredine jedne strane enegona. Na primjer, SL je apotem, čija je duljina jednaka.

Područje enegona poznato je sa strane i apotema

Smatramo trokut ODE na slici 2. Područje tog trokuta je proizvod njegove baze DE i visine OJ podijeljeno s 2:

ODE područje = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Budući da u enegonu postoji 9 trokuta jednakog područja, zaključuje se da je područje istog:

Enegonsko područje = (9/2) (d * a)

Područje poznatog enegona sa strane

Ako je poznata samo duljina d stranica enegona, tada je potrebno pronaći duljinu apoteme da bi se formula primijenila u prethodnom odjeljku.

Smatramo pravi trokut OJE u J (vidi sliku 2). Ako se primijeni tangenta trigonometrijski omjer, dobivamo:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Kut ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, budući da je EO bisektor unutarnjeg kuta enegona.

S druge strane, SL je apotema duljine a.

Zatim, budući da je J srednja točka ED, slijedi da je EJ = d / 2.

Zamjenom prethodnih vrijednosti u odnosu tangenta imamo:

tan (70º) = a / (d / 2).

Sada razjasnimo duljinu apoteme:

a = (d / 2) tan (70º).

Prethodni rezultat supstituira se u formuli područja radi dobivanja:

Područje enegona = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Na kraju, pronalazimo formulu koja omogućava dobivanje područja pravilnog enegona ako je poznata samo duljina d njegovih strana:

Površina enegona = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

Perimetra pravilnog enegona poznata je sa njegove strane

Perimetar poligona je zbroj njegovih strana. U slučaju enegona, kako svaka od strana mjeri duljinu d, njegov će perimetar biti zbroj devet puta d, to jest:

Perimetar = 9 d

Perimetar enegona znao je njegov polumjer

Uzimajući u obzir pravi trokut OJE u J (vidi sliku 2), primjenjuje se omjer trigonometrijskog kosinusa:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Gdje je dobiven od:

d = 2r cos (70 °)

Supstituirajući ovaj rezultat, dobivamo formulu za obod kao funkciju polumjera enegona:

Perimetar = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Kako napraviti običan enegon

1- Da biste izradili pravilan eneagon, s ravnalom i kompasom, krenite od opsega c koji okružuje eneagon. (vidi sliku 3)

2- Dvije okomite crte povučene su kroz središte O oboda. Tada su presjeci A i B jedne od linija označeni obodom.

3- S kompasom, centriranjem na presretanju B i otvorom jednakim polumjeru BO, crta se luk koji presiječe izvorni obim u točki C.

Slika 3. Koraci za izgradnju pravilnog enegona. (Vlastita obrada)

4- Prethodni korak se ponavlja, ali čineći središte na A i polumjeru AO, crta se luk koji presijeca obod c u točki E.

5- Otvaranjem AC i središta u A crta se luk obima. Slično je s otvaranjem BE i sredinom B ucrtan drugi luk. Sjecište ova dva luka označeno je kao točka G.

6- Centriranje na G i otvaranje GA crta se luk koji presijeca sekundarnu os (u ovom slučaju horizontalno) u točki H. Sjecište sekundarne osi s izvornim obodom c označeno je kao I.

7- Dužina segmenta IH jednaka je duljini d strane enegona.

8- S otvorom kompasa IH = d, lukovi središta A polumjera AJ, središta J polumjera AK, središta K polumjera KL i središta L polumjera LP se uvlače uzastopno.

9- Slično tome, počevši od A i s desne strane, crtaju se lukovi poluprečnika IH = d koji označavaju točke M, N, C i Q na izvornom obodu c.

10- Konačno su izvučeni segmenti AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ i na kraju PB.

Treba napomenuti da način gradnje nije posve točan, jer se može provjeriti da je posljednja strana PB-a 0,7% dulja od ostalih strana. Do danas nije poznata metoda gradnje s ravnalom i kompasom koja je 100% točna.

Primjeri

Evo nekoliko obrađenih primjera.

Primjer 1

Želimo izgraditi pravilan enegon čija bočne stranice mjere 2 cm. Koji polumjer mora imati opseg koji ga zaobilazi, tako da se primjenom prethodno opisane konstrukcije dobije željeni rezultat?

U prethodnom odlomku je izvedena formula koja povezuje polumjer r opisanog kruga sa stranom d pravilnog enegona:

d = 2r cos (70 °)

Rješavanje za r iz prethodnog izraza imamo:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,44619 * d

Zamjena vrijednosti d = 2 cm u prethodnoj formuli daje polumjer r od 2,92 cm.

Primjer 2

Koje je područje pravilnog enegona sa stranom 2 cm?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se pozabaviti prethodno prikazanom formulom koja nam omogućava da pronađemo područje poznatog enegona duljinom d njegove strane: