POLINOMNE JEDNADŽBE (S RIJEŠENIM VJEŽBAMA) - MATEMATIKA - 2026

U polinom jednadžbe su izjavu da postavlja jednakost dvaju iskaza ili članova, gdje je barem jedan od uvjeta da bi se obje strane jednakosti su polinomi P (x). Te jednadžbe su imenovane prema stupnju njihovih varijabli.

Općenito, jednadžba je izjava koja uspostavlja jednakost dvaju izraza, pri čemu barem u jednom od njih postoje nepoznate veličine, koje nazivamo varijablama ili nepoznanicama. Iako postoji mnogo vrsta jednadžbi, oni se uglavnom klasificiraju u dvije vrste: algebarske i transcendentne.

Polinomne jednadžbe sadrže samo algebarske izraze, koji mogu imati jednu ili više nepoznanica koje su uključene u jednadžbu. Prema eksponentu (stupnju) koji imaju, mogu se svrstati u: prvi stupanj (linearni), drugi stupanj (kvadratni), treći stupanj (kubični), četvrti stupanj (kvartovski), stupanj veći od ili jednak pet i iracionalan.

karakteristike

Polinomne jednadžbe su izrazi koji nastaju jednakošću između dva polinoma; to jest, pomoću konačnih zbroja množenja između nepoznatih vrijednosti (varijable) i fiksnih brojeva (koeficijenata), gdje varijable mogu imati eksponente, a njihova vrijednost može biti pozitivan cijeli broj, uključujući nulu.

Izlagači određuju stupanj ili vrstu jednadžbe. Izraz u izrazu s najvišom eksponentom predstavljat će apsolutni stupanj polinoma.

Polinomne jednadžbe poznate su i kao algebarske jednadžbe, njihovi koeficijenti mogu biti stvarni ili složeni brojevi, a varijable su nepoznati brojevi predstavljeni slovom, kao što su: "x".

Ako je zamjenom vrijednosti za varijablu "x" u P (x) rezultat jednak nuli (0), kaže se da ta vrijednost zadovoljava jednadžbu (to je rješenje), a općenito se naziva korijen polinoma.

Pri razvoju polinomne jednadžbe želite pronaći sve korijene ili rješenja.

vrste

Postoji nekoliko vrsta polinomnih jednadžbi koje se razlikuju prema broju varijabli, ali i prema stupnju njihove eksponenta.

Prema tome, polinomske jednadžbe - tamo gdje je njen prvi pojam polinom koji ima jedinstvenu nepoznanicu, s obzirom da njegov stupanj može biti bilo koji prirodni broj (n), a drugi pojam nula -, mogu se izraziti na sljedeći način:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Gdje:

- a _n, a _n-1 i ₀ su stvarni koeficijenti (brojevi).

- a _n je različit od nule.

- eksponent n je pozitivni cijeli broj koji predstavlja stupanj jednadžbe.

- x je varijabla ili nepoznanica koja se traži.

Apsolutni ili veći stupanj polinomne jednadžbe je eksponent s najvećom vrijednošću među svima onima koji tvore polinom; prema tome, jednadžbe su klasificirane kao:

Prvi razred

Polinomne jednadžbe prvog stupnja, poznate i kao linearne jednadžbe, su one u kojima je stupanj (najveća eksponenta) jednak 1, polinom je oblika P (x) = 0; y sastoji se od linearnog pojma i neovisnog. Piše na sljedeći način:

ax + b = 0.

Gdje:

- a i b su stvarni brojevi i a ≠ 0.

- sjekira je linearni pojam.

- b je neovisni pojam.

Na primjer, jednadžba 13x - 18 = 4x.

Da bi se riješile linearne jednadžbe, svi izrazi koji sadrže nepoznati x moraju se prebaciti na jednu stranu jednakosti, a oni koji nemaju nemaju premjestiti na drugu stranu, da bi se to riješilo i dobilo rješenje:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Dakle, zadana jednadžba ima samo jedno rješenje ili korijen, a to je x = 2.

Drugi razred

Polinomne jednadžbe drugog stupnja, poznate i kao kvadratne jednadžbe, su one u kojima je stupanj (najveća eksponenta) jednak 2, polinom je oblika P (x) = 0, a sastoji se od kvadratnog termina, jedan linearni i jedan neovisni. Izražava se na sljedeći način:

os ² + bx + c = 0.

Gdje:

- a, b i c su stvarni brojevi i a ≠ 0.

- os ² je kvadratni pojam, a "a" je koeficijent kvadratnog pojma.

- bx je linearni pojam, a "b" je koeficijent linearnog izraza.

- c je neovisni pojam.

Otapalo

Općenito, rješenje za ovu vrstu jednadžbi daje se brisanjem x iz jednadžbe i to je kako slijedi, što se naziva rezolutivnim:

Tamo se (b ² - 4ac) naziva diskriminacijom jednadžbe i taj izraz određuje broj rješenja koja jednadžba može imati:

- Ako je (b ² - 4ac) = 0, jednadžba će imati jedno rješenje koje je dvostruko; to jest, imat će dva jednaka rješenja.

- Ako je (b ² - 4ac)> 0, jednadžba će imati dva različita realna rješenja.

- Ako je (b ² - 4ac) <0, jednadžba nema rješenja (imat će dva različita složena rješenja).

Na primjer, imamo jednadžbu 4x ² + 10x - 6 = 0, da bismo je riješili, prvo identificiramo izraze a, b i c, a zatim je zamijenimo u formuli:

a = 4

b = 10

c = -6.

Postoje slučajevi u kojima polinomne jednadžbe drugog stupnja nemaju sva tri pojma, i zbog toga se oni rješavaju različito:

- U slučaju da kvadratne jednadžbe nemaju linearni izraz (to jest, b = 0), jednadžba će biti izražena kao ax ² + c = 0. Da biste je riješili, riješite za x ² i primijenite kvadratne korijene u svakom članu sjećajući se da se moraju uzeti u obzir dva moguća znaka koje nepoznanica može imati:

sjekira ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Na primjer, 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Kad kvadratna jednadžba nema neovisan pojam (to jest, c = 0), jednadžba će biti izražena kao ax ² + bx = 0. Da bismo je riješili, treba uzeti zajednički faktor nepoznatog x u prvom članu; Kako je jednadžba jednaka nuli, istina je da će barem jedan od faktora biti jednak 0:

sjekira ² + bx = 0.

x (os + b) = 0.

Dakle, morate:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Na primjer: imamo jednadžbu 5x ² + 30x = 0. Prvo faktorujemo:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Stvaraju se dva faktora koji su xy (5x + 30). Smatra se da će jedna od njih biti jednaka nuli, a druga da je riješena:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Najviša ocjena

Polinomne jednadžbe višeg stupnja su one koje idu od trećeg stupnja pa nadalje, koje se mogu izraziti ili riješiti općom polinomnom jednadžbom za bilo koji stupanj:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Koristi se jer jednadžba sa stupnjem većim od dva rezultat je faktoring polinoma; to jest, izražava se množenjem polinoma stupnja jedan ili više, ali bez stvarnih korijena.

Rješenje ovih vrsta jednadžbi je izravno, jer će množenje dva faktora biti jednako nuli ako je bilo koji od faktora nula (0); stoga se mora riješiti svaka pronađena polinomna jednadžba, postavljajući svaki njihov faktor jednak nuli.

Na primjer, imamo jednadžbu trećeg stupnja (kubična) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Da biste je riješili, morate slijediti sljedeće korake:

- Pojmovi su grupirani:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ²) + (4x + 4) = 0.

- Članovi se rastavljaju kako bi dobili zajednički faktor nepoznatog:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- Na ovaj način dobivaju se dva faktora koja moraju biti jednaka nuli:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Može se vidjeti da faktor (x ² + 4) = 0 neće imati stvarno rješenje, dok faktor (x + 1) = 0 ima. Dakle, rješenje je:

(x + 1) = 0

x = -1.

Riješene vježbe

Riješite sljedeće jednadžbe:

Prva vježba

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Riješenje

U ovom slučaju, jednadžba se izražava kao množenje polinoma; to jest faktorirano. Da biste ga riješili, svaki se faktor mora postaviti jednako nuli:

- 2x ² + 5 = 0, nema rješenja.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Dakle, zadana jednadžba ima dva rješenja: x = 3 i x = -1.

Druga vježba

x ⁴ - 36 = 0.

Riješenje

Dat je polinom koji se može prepisati kao razlika kvadrata za brže rješenje. Dakle, jednadžba je:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Da bi se pronašlo rješenje jednadžbi, oba su faktora postavljena jednaka nuli:

(x ² + 6) = 0, nema rješenja.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Dakle, početna jednadžba ima dva rješenja:

x = √6.

x = - √6.

Reference

1. Andres, T. (2010). Tresura matematičke olimpijade. Springer. New York.
2. Angel, AR (2007). Elementarna algebra. Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Linearna algebra i projektivna geometrija. Kurirska korporacija.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
5. Castaño, HF (2005). Matematika prije računanja. University of Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Olimpijski priručnik za matematiku. Sveučilište Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Viša algebra I
8. Massara, NC-L. (devetnaest devedeset pet). Matematika 3.