DOMENA I SUPROTNOST FUNKCIJE (S PRIMJERIMA) - MATEMATIKA - 2026

Pojmovi domene i protu-domene funkcije obično se podučavaju na tečajevima izračuna koji se predaju na početku sveučilišnih diploma.

Prije nego što definirate domenu i suprotnost, morate znati što je funkcija. Funkcija f je zakon (pravilo) dopisivanja između elemenata dva skupa.

Skup iz kojeg su elementi izabrani zove se domena funkcije, a skup kojem se ti elementi šalju kroz f naziva se protu-domena.

U matematici funkcija s domenom A i suprotnom domenom B označava se izrazom f: A → B.

Prethodni izraz kaže da se elementi skupa A šalju na skup B slijedeći zakon korespondencije f.

Funkcija dodjeljuje svakom elementu skupa A jedan element skupa B.

Domena i suprotnost

S obzirom na stvarnu funkciju realne varijable f (x), imamo da će domena funkcije biti svi oni stvarni brojevi takvi da, kada se procjenjuje u f, rezultat je stvaran broj.

Općenito, protu-domena funkcije je skup realnih brojeva R. Protu-domena se također naziva skup dolaska ili kododina funkcije f.

Je li suprotnost neke funkcije uvijek R?

Ne. Sve dok funkcija nije detaljno proučena, skup stvarnih brojeva R obično se uzima kao protu-domena.

Ali nakon proučavanja funkcije, prikladniji skup može se uzeti kao protu-domena, koja će biti podskup R.

Ispravan skup koji je spomenut u prethodnom odlomku odgovara slici funkcije.

Definicija slike ili raspona funkcije f odnosi se na sve vrijednosti koje dolaze iz procjene elementa domene u f.

Primjeri

Sljedeći primjeri ilustriraju kako izračunati domenu funkcije i njezinu sliku.

Primjer 1

Neka je f realna funkcija definirana f (x) = 2.

Domena f su svi stvarni brojevi takvi da, kad se procjenjuje na f, rezultat je stvaran broj. Suprotnost za sada jednaka je R.

Kako je zadana funkcija konstantna (uvijek jednaka 2), nije važno koji je odabran stvarni broj, jer će se pri ocjenjivanju na f rezultat uvijek iznositi 2, što je pravi broj.

Stoga je domena zadane funkcije svi realni brojevi; to jest A = R.

Sada kada je poznato da je rezultat funkcije uvijek jednak 2, imamo da je slika funkcije samo broj 2, pa se protu-domena funkcije može redefinirati kao B = Img (f) = {dva}.

Stoga je f: R → {2}.

Primjer 2

Neka je g realna funkcija definirana g (x) = √x.

Sve dok slika g nije poznata, suprotnost g je B = R.

S ovom funkcijom mora se uzeti u obzir da su kvadratni korijeni definirani samo za ne-negativne brojeve; odnosno za brojeve veće od ili jednake nuli. Na primjer, √-1 nije stvaran broj.

Prema tome, domena funkcije g mora biti da su svi brojevi veći ili jednaki nuli; to jest x ≥ 0.

Stoga je A = [0, + ∞).

Za izračunavanje raspona treba imati na umu da će svaki rezultat g (x), jer je kvadratni korijen, uvijek biti veći od ili jednak nuli. Odnosno, B = [0, + ∞).

Zaključno, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Primjer 3

Ako imamo funkciju h (x) = 1 / (x-1), imamo da ta funkcija nije definirana za x = 1, jer bi nazivnik dobio nulu, a dijeljenje sa nulom nije definirano.

S druge strane, za bilo koju drugu stvarnu vrijednost rezultat će biti realan broj. Prema tome, domena je sve realno osim jedne; to jest A = R {1}.

Na isti se način može primijetiti da je jedina vrijednost koja se kao rezultat ne može dobiti 0, jer za ulomak mora biti jednak nuli, brojnik mora biti jednak nuli.

Dakle, slika funkcije je skup svih reala osim nule, pa je B = R {0} uzeta kao suprotnost.

Zaključno, h: R {1} → R {0}.

zapažanja

Domena i slika ne moraju biti isti skup, kao što je pokazano u Primjerima 1 i 3.

Kad je funkcija graficirana na kartezijanskoj ravnini, domena je predstavljena osi X, a kontradomina ili raspon predstavljen je osi Y.

Reference

1. Fleming, W., i Varberg, DE (1989). Prekalkulusna matematika. Dvorana Prentice.
2. Fleming, W., i Varberg, DE (1989). Prekalkul matematika: pristup rješavanju problema (2, Ilustrirano ur.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Prekalkulus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Ravna analitička geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., i Rigdon, SE (2007). Račun (Deveto izdanje). Dvorana Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Diferencijalni račun s ranim transcendentnim funkcijama za znanost i inženjerstvo (drugo izdanje, ed.). Hipotenuza.
9. Scott, Kalifornija (2009). Kartezijanska ravnina geometrija, dio: Analitički koniki (1907) (reprint ed.). Izvor munje.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.