SINTETSKA PODJELA: METODA I RIJEŠENE VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Sintetski podjela je jednostavan način za dijeljenje polinom P (x) bilo koji od oblika d (x) = x - c. Na primjer, polinom P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) može se predstaviti kao množenje dva najjednostavnija polinoma (x + 1) i (x ⁴ + 2x ³).

Vrlo je koristan alat jer, osim što nam omogućuje dijeljenje polinoma, omogućava i ocjenu polinoma P (x) na bilo koji broj c, što nam zauzvrat točno govori je li navedeni broj nula polinoma ili nije.

Zahvaljujući algoritmu podjele znamo da ako imamo dva nestalna polinoma P (x) i d (x), postoje jedinstveni polinomi q (x) i r (x) takvi da je istina da je P (x) = q (x) d (x) + r (x), gdje je r (x) nula ili manji od q (x). Ti polinomi poznati su kao količnik, a ostatak ili ostatak.

U slučajevima kada je polinom d (x) oblika x-c, sintetička podjela daje nam kratak način pronalaženja tko su q (x) i r (x).

Metoda sintetskog dijeljenja

Neka je P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ polinom koji želimo podijeliti, a d (x) = xc djelitelj. Za podjelu metodom sintetske podjele postupamo na sljedeći način:

1- U prvi red pišemo koeficijente P (x). Ako se ne pojavi bilo koja snaga X, stavljamo nulu kao njezin koeficijent.

2- U drugom redu, lijevo od _n stavljamo c, i crtamo podjele kao što je prikazano na sljedećoj slici:

3- Smanjimo vodeći koeficijent u treći red.

U ovom izrazu b _n-1 = a _n

4- Pomnožimo c s vodećim koeficijentom b _n-1, a rezultat zapisujemo u drugi red, ali u jedan stupac desno.

5- Dodajemo stupac u koji pišemo prethodni rezultat i rezultat nalazimo ispod te sume; to jest u istom stupcu, treći red.

Kada dodajemo, kao rezultat imamo _n-1 + c * b _n-1, koji ćemo za praktičnost nazvati b _n-2

6- Pomnožimo c s prethodnim rezultatom i zapisujemo rezultat s desne strane u drugi red.

7- Ponavljamo korake 5 i 6 dok ne postignemo koeficijent na ₀.

8- Pišemo odgovor; to jest kvocijent i ostatak. Budući da dijelimo polinom stupnja n s polinomom stupnja 1, imamo da bi kvocijent bio stupnja n-1.

Koeficijenti polimijenta kvocijenta bit će brojevi u trećem redu, osim posljednjeg, koji će biti ostatak ili ostatak podjele.

Riješene vježbe

- Primjer 1

Izvedite sljedeću podjelu metodom sintetske podjele:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Riješenje

Najprije pišemo koeficijente dividende na sljedeći način:

Zatim pišemo c na lijevoj strani, u drugom redu, zajedno s razdjelnim linijama. U ovom primjeru c = -1.

Smanjimo vodeći koeficijent (u ovom slučaju b _n-1 = 1) i množimo ga s -1:

Rezultat napišemo desno u drugi red, kao što je prikazano u nastavku:

U drugi stupac dodajemo brojeve:

Pomnožimo 2 s -1 i upišemo rezultat u treći stupac, drugi red:

U treći stupac dodajemo:

Nastavljamo na isti način dok ne stignemo do posljednjeg stupca:

Dakle, imamo da je posljednji dobiveni broj ostatak dijeljenja, a preostali brojevi koeficijenti polinicija kvocijenta. To piše na sljedeći način:

Ako želimo provjeriti je li rezultat točan, dovoljno je da provjerimo da je sljedeća jednadžba tačna:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Tako možemo provjeriti je li dobiveni rezultat točan.

- Primjer 2

Izvedite sljedeću podjelu polinoma metodom sintetske podjele

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Riješenje

U ovom slučaju imamo da se pojam x ² ne pojavljuje, pa ćemo pisati 0 kao njegov koeficijent. Dakle, polinom bi bio 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Zapisujemo njihove koeficijente zaredom, ovo je:

Na lijevu stranu drugog reda pišemo vrijednost C = -2 i nacrtamo crte dijeljenja.

Smanjimo vodeći koeficijent b _n-1 = 7 i množimo ga s -2, zapisujući njegov rezultat u drugi red desno.

Dodajemo i postupamo kako je ranije objašnjeno, dok ne postignemo posljednji pojam:

U ovom slučaju, ostatak je r (x) = - 52, a dobiveni kvocijent je q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Primjer 3

Drugi način korištenja sintetske podjele je sljedeći: pretpostavimo da imamo polinom P (x) stupnja n i želimo znati koja je vrijednost procijenjujući je na x = c.

Algoritmom podjele polinom P (x) možemo napisati na sljedeći način:

U ovom su izrazu q (x) i r (x) kvocijent i ostatak. Ako je d (x) = x- c, kad ocjenjujemo c u polinomu, dobivamo sljedeće:

Stoga ostaje samo pronaći ar (x), a to možemo učiniti zahvaljujući sintetskoj podjeli.

Na primjer, imamo polinom P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 i želimo znati koja je njegova vrijednost procjenjujući je na x = 5. Da bismo to učinili izvodimo podjela između P (x) i d (x) = x -5 metodom sintetske podjele:

Nakon što su operacije izvršene, znamo da P (x) možemo napisati na sljedeći način:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Stoga, kada ga ocjenjujemo, moramo:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Kao što vidimo, sintetičkom podjelom moguće je pronaći vrijednost polinoma procjenom na c, a ne jednostavnom zamjenom c za x.

Kada bismo pokušali procijeniti P (5) na tradicionalan način, bili bismo prisiljeni izvršiti neke proračune koji često postaju zamorni.

- Primjer 4

Algoritam dijeljenja za polinom vrijedi i za polinom sa složenim koeficijentima i, kao posljedica toga, imamo da metoda sintetičke podjele djeluje i za takve polinome. Primjer ćemo vidjeti u nastavku.

Upotrijebit ćemo metodu sintetskog dijeljenja da pokažemo da je z = 1+ 2i nula polinoma P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); to jest, ostatak podjele P (x) na d (x) = x - z jednak je nuli.

Nastavljamo kao i prije: u prvi red pišemo koeficijente P (x), zatim u drugi pišemo z i crtamo linije dijeljenja.

Podjelu provodimo kao i prije; ovo je:

Možemo primijetiti da je ostatak jednak nuli; stoga zaključujemo da je z = 1+ 2i jednaka nuli P (x).

Reference

1. Baldor Aurelio. Algebra Grupo uredništvo Patria.
2. Demana, Waits, Foley i Kennedy. Prekalkulus: grafički, numerički, algebrični 7. ed. Pearson obrazovanje.
3. Flamming W & Varserg D. Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Dvorana Prentice
4. Michael Sullivan. Prekalkul 4. izd. Pearson Education.
5. Crvena. Armando O. Algebra 1 6. izd. Atenaj.