- Metoda sintetskog dijeljenja
- Riješene vježbe
- - Primjer 1
- Riješenje
- - Primjer 2
- Riješenje
- - Primjer 3
- - Primjer 4
- Reference
Sintetski podjela je jednostavan način za dijeljenje polinom P (x) bilo koji od oblika d (x) = x - c. Na primjer, polinom P (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) može se predstaviti kao množenje dva najjednostavnija polinoma (x + 1) i (x 4 + 2x 3).
Vrlo je koristan alat jer, osim što nam omogućuje dijeljenje polinoma, omogućava i ocjenu polinoma P (x) na bilo koji broj c, što nam zauzvrat točno govori je li navedeni broj nula polinoma ili nije.

Zahvaljujući algoritmu podjele znamo da ako imamo dva nestalna polinoma P (x) i d (x), postoje jedinstveni polinomi q (x) i r (x) takvi da je istina da je P (x) = q (x) d (x) + r (x), gdje je r (x) nula ili manji od q (x). Ti polinomi poznati su kao količnik, a ostatak ili ostatak.
U slučajevima kada je polinom d (x) oblika x-c, sintetička podjela daje nam kratak način pronalaženja tko su q (x) i r (x).
Metoda sintetskog dijeljenja
Neka je P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +… + a 1 x + a 0 polinom koji želimo podijeliti, a d (x) = xc djelitelj. Za podjelu metodom sintetske podjele postupamo na sljedeći način:
1- U prvi red pišemo koeficijente P (x). Ako se ne pojavi bilo koja snaga X, stavljamo nulu kao njezin koeficijent.

2- U drugom redu, lijevo od n stavljamo c, i crtamo podjele kao što je prikazano na sljedećoj slici:

3- Smanjimo vodeći koeficijent u treći red.

U ovom izrazu b n-1 = a n
4- Pomnožimo c s vodećim koeficijentom b n-1, a rezultat zapisujemo u drugi red, ali u jedan stupac desno.

5- Dodajemo stupac u koji pišemo prethodni rezultat i rezultat nalazimo ispod te sume; to jest u istom stupcu, treći red.

Kada dodajemo, kao rezultat imamo n-1 + c * b n-1, koji ćemo za praktičnost nazvati b n-2
6- Pomnožimo c s prethodnim rezultatom i zapisujemo rezultat s desne strane u drugi red.

7- Ponavljamo korake 5 i 6 dok ne postignemo koeficijent na 0.

8- Pišemo odgovor; to jest kvocijent i ostatak. Budući da dijelimo polinom stupnja n s polinomom stupnja 1, imamo da bi kvocijent bio stupnja n-1.
Koeficijenti polimijenta kvocijenta bit će brojevi u trećem redu, osim posljednjeg, koji će biti ostatak ili ostatak podjele.

Riješene vježbe
- Primjer 1
Izvedite sljedeću podjelu metodom sintetske podjele:
(x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1): (x + 1).
Riješenje
Najprije pišemo koeficijente dividende na sljedeći način:

Zatim pišemo c na lijevoj strani, u drugom redu, zajedno s razdjelnim linijama. U ovom primjeru c = -1.

Smanjimo vodeći koeficijent (u ovom slučaju b n-1 = 1) i množimo ga s -1:

Rezultat napišemo desno u drugi red, kao što je prikazano u nastavku:

U drugi stupac dodajemo brojeve:

Pomnožimo 2 s -1 i upišemo rezultat u treći stupac, drugi red:

U treći stupac dodajemo:

Nastavljamo na isti način dok ne stignemo do posljednjeg stupca:

Dakle, imamo da je posljednji dobiveni broj ostatak dijeljenja, a preostali brojevi koeficijenti polinicija kvocijenta. To piše na sljedeći način:

Ako želimo provjeriti je li rezultat točan, dovoljno je da provjerimo da je sljedeća jednadžba tačna:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Tako možemo provjeriti je li dobiveni rezultat točan.
- Primjer 2
Izvedite sljedeću podjelu polinoma metodom sintetske podjele
(7x 3 -x + 2): (x + 2)
Riješenje
U ovom slučaju imamo da se pojam x 2 ne pojavljuje, pa ćemo pisati 0 kao njegov koeficijent. Dakle, polinom bi bio 7x 3 + 0x 2 -x + 2.
Zapisujemo njihove koeficijente zaredom, ovo je:

Na lijevu stranu drugog reda pišemo vrijednost C = -2 i nacrtamo crte dijeljenja.

Smanjimo vodeći koeficijent b n-1 = 7 i množimo ga s -2, zapisujući njegov rezultat u drugi red desno.

Dodajemo i postupamo kako je ranije objašnjeno, dok ne postignemo posljednji pojam:

U ovom slučaju, ostatak je r (x) = - 52, a dobiveni kvocijent je q (x) = 7x 2 -14x + 27.
- Primjer 3
Drugi način korištenja sintetske podjele je sljedeći: pretpostavimo da imamo polinom P (x) stupnja n i želimo znati koja je vrijednost procijenjujući je na x = c.
Algoritmom podjele polinom P (x) možemo napisati na sljedeći način:

U ovom su izrazu q (x) i r (x) kvocijent i ostatak. Ako je d (x) = x- c, kad ocjenjujemo c u polinomu, dobivamo sljedeće:

Stoga ostaje samo pronaći ar (x), a to možemo učiniti zahvaljujući sintetskoj podjeli.
Na primjer, imamo polinom P (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 i želimo znati koja je njegova vrijednost procjenjujući je na x = 5. Da bismo to učinili izvodimo podjela između P (x) i d (x) = x -5 metodom sintetske podjele:

Nakon što su operacije izvršene, znamo da P (x) možemo napisati na sljedeći način:
P (x) = (x 6 -4x 5 –x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
Stoga, kada ga ocjenjujemo, moramo:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Kao što vidimo, sintetičkom podjelom moguće je pronaći vrijednost polinoma procjenom na c, a ne jednostavnom zamjenom c za x.
Kada bismo pokušali procijeniti P (5) na tradicionalan način, bili bismo prisiljeni izvršiti neke proračune koji često postaju zamorni.
- Primjer 4
Algoritam dijeljenja za polinom vrijedi i za polinom sa složenim koeficijentima i, kao posljedica toga, imamo da metoda sintetičke podjele djeluje i za takve polinome. Primjer ćemo vidjeti u nastavku.
Upotrijebit ćemo metodu sintetskog dijeljenja da pokažemo da je z = 1+ 2i nula polinoma P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); to jest, ostatak podjele P (x) na d (x) = x - z jednak je nuli.
Nastavljamo kao i prije: u prvi red pišemo koeficijente P (x), zatim u drugi pišemo z i crtamo linije dijeljenja.

Podjelu provodimo kao i prije; ovo je:

Možemo primijetiti da je ostatak jednak nuli; stoga zaključujemo da je z = 1+ 2i jednaka nuli P (x).
Reference
- Baldor Aurelio. Algebra Grupo uredništvo Patria.
- Demana, Waits, Foley i Kennedy. Prekalkulus: grafički, numerički, algebrični 7. ed. Pearson obrazovanje.
- Flamming W & Varserg D. Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Dvorana Prentice
- Michael Sullivan. Prekalkul 4. izd. Pearson Education.
- Crvena. Armando O. Algebra 1 6. izd. Atenaj.
