DISKRETNE DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI: KARAKTERISTIKE, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Su odvojene razdiobe vjerojatnosti su funkcija koja svakoj element X (S) = {X1, X2,…, Xi,…}, pri čemu je X diskretna slučajna varijabla dao i S je uzorak prostor, vjerojatnost da navedeni događaj se događa. Ova funkcija f X (S) definirana kao f (xi) = P (X = xi) ponekad se naziva funkcijom mase vjerojatnosti.

Ova masa vjerojatnosti je općenito prikazana u tablici. Budući da je X diskretna slučajna varijabla, X (S) ima ograničen broj događaja ili brojač koji se može računati. Među najčešćim diskretnim raspodjelama vjerojatnosti imamo jednoliku raspodjelu, binomnu i Poissonovu raspodjelu.

karakteristike

Funkcija raspodjele vjerojatnosti mora ispunjavati sljedeće uvjete:

Nadalje, ako X uzima samo konačan broj vrijednosti (na primjer x1, x2,…, xn), tada je p (xi) = 0 ako i> ny, dakle, beskonačni niz uvjeta b postaje a konačni niz.

Ova funkcija ispunjava i sljedeća svojstva:

Neka je B događaj povezan sa slučajnom varijablem X. To znači da je B sadržan u X (S). Konkretno, pretpostavimo da je B = {xi1, xi2,…}. Tako:

Drugim riječima, vjerojatnost događaja B jednaka je zbroju vjerojatnosti pojedinačnih ishoda povezanih s B.

Iz ovoga možemo zaključiti da ako su a <b, događaji (X ≤ a) i (a <X ≤ b) su međusobno isključivi i, nadalje, njihova unija je događaj (X ≤ b), tako da imamo:

vrste

Ravnomjerna raspodjela na n bodova

Rečeno je da slučajna varijabla X slijedi raspodjelu koja je karakterizirana ujednačenim u n točkama ako je svakoj vrijednosti dodijeljena jednaka vjerojatnost. Njegova vjerojatna masa funkcija je:

Pretpostavimo da imamo eksperiment koji ima dva moguća ishoda, to može biti bacanje kovanice čiji su mogući rezultati glava ili repovi ili izbor cijelog broja čiji rezultat može biti paran ili neparan broj; ova vrsta eksperimenta poznata je kao Bernoullijeva ispitivanja.

Općenito, dva moguća ishoda nazivaju se uspjeh i neuspjeh, gdje je p vjerojatnost uspjeha i 1-p je vjerojatnost neuspjeha. Vjerojatnost x uspjeha možemo utvrditi u n Bernoullijevim testovima koji su međusobno neovisni slijedećom distribucijom.

Binomna distribucija

To je funkcija koja predstavlja vjerojatnost postizanja x uspjeha u n neovisnim Bernoullijevim testovima, čija je vjerojatnost uspjeha p. Njegova vjerojatna masa funkcija je:

Sljedeći grafikon predstavlja funkciju mase vjerojatnosti za različite vrijednosti parametara binomne distribucije.

Sljedeća raspodjela duguje svoje ime francuskom matematičaru Simeonu Poissonu (1781-1840), koji ju je dobio kao granicu binomne distribucije.

Poissonova distribucija

Kaže se da slučajna varijabla X ima Poissonovu raspodjelu parametra λ kada može uzeti pozitivne cjelobrojne vrijednosti 0,1,2,3,… sa sljedećom vjerojatnošću:

U ovom izrazu λ je prosječni broj koji odgovara događajima događaja za svaku jedinicu vremena, a x je broj puta kada se događaj dogodi.

Njegova vjerojatna masa funkcija je:

Ovdje je grafikon koji predstavlja funkciju mase vjerojatnosti za različite vrijednosti parametara Poissonove raspodjele.

Imajte na umu da, sve dok je broj uspjeha nizak i broj izvršenih testova na binomnoj distribuciji, ove distribucije uvijek možemo aproksimirati, jer je Poissonova raspodjela granica binomne distribucije.

Glavna razlika između ove dvije raspodjele je u tome što dok binom ovisi o dva parametra, to jest n i p, Poisson ovisi samo o λ, što se ponekad naziva i intenzitetom distribucije.

Do sada smo govorili samo o raspodjeli vjerojatnosti za slučajeve u kojima su različiti eksperimenti neovisni jedan o drugom; to jest kad na rezultat jednog ne utječe neki drugi rezultat.

Kad se dogodi slučaj eksperimenata koji nisu neovisni, hipergeometrijska raspodjela je vrlo korisna.

Hipergeometrijska distribucija

Neka je N ukupni broj objekata konačnog skupa od kojih možemo na neki način identificirati k, formirajući tako podskup K, čiji komplement čine preostali Nk elementi.

Ako nasumično odaberemo n objekata, slučajna varijabla X koja predstavlja broj objekata koji pripadaju K u navedenom izboru ima hipergeometrijsku raspodjelu parametara N, n i k. Njegova vjerojatna masa funkcija je:

Sljedeći grafikon predstavlja funkciju mase vjerojatnosti za različite vrijednosti parametara hipergeometrijske distribucije.

Riješene vježbe

Prva vježba

Pretpostavimo da je vjerojatnost da će radijska cijev (smještena u određenu vrstu opreme) raditi više od 500 sati 0,2. Ako se ispituje 20 epruveta, kolika je vjerojatnost da će se tačno k od njih pokrenuti više od 500 sati, k = 0, 1,2,…, 20?

Riješenje

Ako je X broj cijevi koje rade više od 500 sati, pretpostavit ćemo da X ima binomnu distribuciju. Tako

I tako:

Za k≥11 vjerojatnosti su manje od 0,001

Stoga možemo promatrati kako se vjerojatnost da k ovih djela radi više od 500 sati povećava, sve dok ne dosegne svoju maksimalnu vrijednost (s k = 4), a zatim se počne smanjivati.

Druga vježba

Kovanica se baca 6 puta. Kad je rezultat skup, reći ćemo da je to uspjeh. Kolika je vjerojatnost da će se točno pojaviti dvije glave?

Riješenje

Za ovaj slučaj imamo da je n = 6 i obje vjerojatnosti uspjeha i neuspjeha su p = q = 1/2

Stoga je vjerojatnost da su date dvije glave (to jest, k = 2)

Treća vježba

Kolika je vjerojatnost da ćete pronaći barem četiri glave?

Riješenje

Za ovaj slučaj imamo da je k = 4, 5 ili 6

Treća vježba

Pretpostavimo da su 2% predmeta proizvedenih u tvornici neispravne. Pronađite vjerojatnost P da u uzorku od 100 predmeta postoje tri neispravna predmeta.

Riješenje

U ovom slučaju možemo primijeniti binomnu raspodjelu za n = 100 i p = 0.02 dobivajući kao rezultat:

Međutim, budući da je p mali, koristimo Poissonovu aproksimaciju s λ = np = 2. Tako,

Reference

1. Kai Lai Chung. Elementarna teorija izvodljivosti sa stohastičkim procesima. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika i njezine primjene. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Vjerojatnost i statističke primjene. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz dr. Sc. 2000. riješena problema diskretne matematike. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz dr. Sc. Teorija i problemi vjerojatnosti. McGraw-Hill.