POISSONOVA RASPODJELA: FORMULE, JEDNADŽBE, MODEL, SVOJSTVA - DUDÁS - 2026

Poissonova distribucija je diskretna razdioba vjerojatnosti, u kojem je vjerojatnost da se unutar velikog uzorka veličine i tijekom određenog intervala, događaj čija je vjerojatnost mala može biti poznat.

Često se puta Poissonova raspodjela može upotrijebiti umjesto binomne distribucije sve dok su ispunjeni sljedeći uvjeti: veliki uzorak i mala vjerojatnost.

Slika 1. Grafikon Poissonove distribucije za različite parametre. Izvor: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) stvorio je ovu distribuciju koja nosi njegovo ime, vrlo korisnu kad se radi o nepredvidivim događajima. Poisson je objavio svoje rezultate 1837. godine, istražno djelo o vjerojatnosti pojavljivanja pogrešnih kaznenih kazni.

Kasnije su drugi istraživači prilagodili distribuciju u drugim područjima, na primjer, broj zvijezda koje se mogu naći u određenom volumenu prostora, ili vjerojatnost da će vojnik umrijeti od udaranja konja.

Formula i jednadžbe

Matematički oblik distribucije Poissona je sljedeći:

- μ (također ponekad označen kao λ) je sredina ili parametar distribucije

- Eulerov broj: e = 2.71828

- Vjerojatnost dobivanja y = k je P

- k je broj uspjeha 0, 1,2,3…

- n je broj testova ili događaja (veličina uzorka)

Diskretne slučajne varijable, kao što im ime govori, ovise o slučajnosti i uzimaju samo diskretne vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Sredina raspodjele zadana je:

Varijanca σ, koja mjeri širenje podataka, još je jedan važan parametar. Za Poissonovu distribuciju to je:

σ = μ

Poisson je utvrdio da kada n → ∞, a p → 0, srednja μ - koja se također naziva očekivana vrijednost - teži konstanti:

-Prematni događaji ili događaji su neovisni jedan o drugom i događaju se nasumično.

-Vjerojatnost P određenog događaja koji se dogodi tijekom određenog vremenskog razdoblja vrlo je mala: P → 0.

-Vjerojatnost da će se dogoditi više događaja u vremenskom intervalu je 0.

-Srednja vrijednost približna je konstanta dana: μ = np (n je veličina uzorka)

-S obzirom da je disperzija σ jednaka μ, kako prihvaća veće vrijednosti, varijabilnost također postaje veća.

-Događaji moraju biti ravnomjerno raspoređeni u korištenom vremenskom intervalu.

-Skup mogućih vrijednosti događaja y je: 0,1,2,3,4….

- Zbroj i varijabli koje prate Poissonovu raspodjelu je također druga Poissonova varijabla. Njegova prosječna vrijednost zbroj je prosječnih vrijednosti tih varijabli.

Razlike s binomnom raspodjelom

Poissonova raspodjela razlikuje se od binomne distribucije na sljedeća važna načina:

-Na binomnu raspodjelu utječe i veličina uzorka n i vjerojatnost P, ali na Poissonovu distribuciju utječe samo srednja μ.

-U binomnoj distribuciji moguće su vrijednosti slučajne varijable y 0,1,2,…, N, dok u Poissonovoj distribuciji ne postoji gornja granica za te vrijednosti.

Primjeri

Poisson je u početku primjenjivao svoju poznatu distribuciju na pravne slučajeve, ali na industrijskoj razini, jedna od njegovih najranijih primjena bila je u pravljenju piva. Pri tome se kulture kvasca koriste za fermentaciju.

Kvasac se sastoji od živih stanica, čija je populacija s vremenom promjenjiva. U proizvodnji piva potrebno je dodati potrebnu količinu, stoga je potrebno znati koliko ćelija ima po jedinici volumena.

Tijekom Drugog svjetskog rata Poissonova raspodjela korištena je kako bi se utvrdilo jesu li Nijemci zapravo ciljali u London iz Calaisa ili su samo nasumice pucali. Za saveznike je to bilo važno kako bi utvrdili koliko je dobra nacistima bila dostupna tehnologija.

Praktične aplikacije

Primjene Poissonove distribucije uvijek se odnose na brojeve u vremenu ili brojeve u prostoru. A budući da je vjerojatnost pojave mala, poznat je i kao "zakon rijetkih događaja".

Ovdje je popis događaja koji spadaju u jednu od sljedećih kategorija:

-Registracija čestica u radioaktivnom raspadanju, što je, poput rasta stanica kvasca, eksponencijalna funkcija.

- Broj posjeta određenoj web stranici.

- Dolazak ljudi na liniju za plaćanje ili prisustvovanje (teorija reda).

- Broj automobila koji prolaze određenu točku na cesti tijekom određenog vremenskog intervala.

Slika 2. Broj automobila koji prolaze kroz točku otprilike slijedi Poissonovu distribuciju. Izvor: Pixabay.

-Mutacije pretrpljene u određenom lancu DNK nakon primanja izloženosti zračenju.

-U godinu dana padne broj meteorita promjera većeg od 1 m.

-Defekti po kvadratnom metru tkanine.

-Kvalitet krvnih stanica u 1 kubnom centimetru.

- Pozivi u minuti na telefonsku centralu.

-Skolade od čokolade prisutne u 1 kg tijesta za kolače.

- Broj hektara zaraženih određenim parazitom u 1 hektaru šume.

Imajte na umu da ove slučajne varijable predstavljaju broj pojavljivanja događaja u određenom vremenskom periodu (pozivi u minuti na telefonskoj centrali) ili određenog prostora prostora (nedostaci tkanine na kvadratni metar).

Ti su događaji, kao što je već utvrđeno, neovisni o vremenu koje je proteklo od posljednje pojave.

Približavanje binomne distribucije s Poissonovom raspodjelom

Poissonova razdioba dobro je približavanje binomnoj distribuciji sve dok:

-Veličina uzorka je velika: n ≥ 100

-Vjerojatnost p je mala: p ≤ 0,1

- μ je redoslijedom: np ≤ 10

U takvim je slučajevima Poissonova raspodjela odličan alat, jer se binomna raspodjela može teško primijeniti u tim slučajevima.

Riješene vježbe

Vježba 1

Seizmološka studija utvrdila je da je tijekom posljednjih 100 godina bilo 93 velika potresa širom svijeta, a najmanje 6,0 po Richterovoj ljestvici -logaritmika-. Pretpostavimo da je Poissonova distribucija u ovom slučaju prikladan model. Pronaći:

a) Prosječna pojava velikih potresa godišnje.

b) Ako je P (y) vjerojatnost da se zemljotresi mogu dogoditi tijekom nasumično odabrane godine, pronađite sljedeće vjerojatnosti:

To je prilično manje od P (2).

Rezultati su navedeni u nastavku:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Na primjer, mogli bismo reći da postoji vjerojatnost da će se potres dogoditi u određenoj godini od 39,5%. Ili da se u toj godini dogodi 5,29% od 3 velika potresa.

Rješenje c)

c) Frekvencije se analiziraju množeći se sa n = 100 godina:

39,5; 36,7; 17.1; 5.29; 1,23; 0,229; 0,0355 i 0,00471.

Na primjer:

- Učestalost od 39,5 ukazuje da se u 39,5 od 100 godina dogodi 0 velikih potresa, mogli bismo reći da je prilično blizu stvarnom rezultatu od 47 godina bez većih potresa.

Usporedimo još jedan Poisson-ov rezultat sa stvarnim rezultatima:

- Dobivena vrijednost od 36,7 znači da je u razdoblju od 37 godina došlo do 1 velikog potresa. Stvarni rezultat je da je u 31 godini došlo do 1 velikog potresa, što je dobro u skladu s modelom.

- Očekuju se 17,1 godina s 2 velika potresa i poznato je da je u 13 godina, što je bliska vrijednost, doista bila 2 velika potresa.

Stoga je Poissonov model prihvatljiv za ovaj slučaj.

Vježba 2

Jedna tvrtka procjenjuje da broj komponenti koje propadnu prije nego što dostignu 100 radnih sati prati Poissonovu distribuciju. Ako je u tom vremenu prosječni broj kvarova 8, pronađite sljedeće vjerojatnosti:

a) Da komponenta ne uspije za 25 sati.

b) Otkaz manje od dvije komponente, u roku od 50 sati.

c) Najmanje tri komponente ispadnu za 125 sati.

Rješenje za)

a) Poznato je da je prosjek kvarova u 100 sati 8, dakle u 25 sati očekuje se četvrtina kvarova, odnosno 2 kvara. Ovo će biti parametar μ.

Vjerojatnost da se zatraži 1 komponenta, slučajna varijabla je "komponente koje ne uspiju prije 25 sati", a njena vrijednost je y = 1. Zamjenom u funkciji vjerojatnosti:

Međutim, pitanje je vjerojatnost da manje od dvije komponente ne uspiju u 50 sati, a ne da točno dvije komponente ne uspiju u 50 sati, stoga moramo dodati vjerojatnosti da:

-Niko ne uspijeva

- Neuspjeh samo 1

Parametar μ distribucije u ovom slučaju je:

μ = 8 + 2 = 10 kvarova u 125 sati.

P (3 ili više komponenti ne uspijevaju) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Reference

1. MathWorks. Poissonova distribucija. Oporavak od: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Statistika za menadžment i ekonomiju. 3.. izdanje. Grupo Uredništvo Iberoamérica.
3. Stat Trek. Naučite se statistike. Poissonova distribucija. Oporavak od: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Osnovna statistika. 11.. Ed. Pearson Education.
5. Wikipedia. Poissonova distribucija. Oporavilo sa: en.wikipedia.org