BINOMNA RASPODJELA: POJAM, JEDNADŽBA, KARAKTERISTIKE, PRIMJERI - DUDÁS - 2026

Binomna distribucija je distribucija vjerojatnosti kojom se izračunava vjerojatnost nastanka događaja, pod uvjetom da se pojave pod dva načina: uspjeh ili neuspjeh.

Te su oznake (uspjeh ili neuspjeh) potpuno proizvoljne, jer ne moraju nužno značiti dobre ili loše stvari. Tijekom ovog članka naznačit ćemo matematički oblik binomne distribucije, a zatim će se detaljno objasniti značenje svakog pojma.

Slika 1. Valjak matrice je fenomen koji se može modelirati primjenom binomne distribucije. Izvor: Pixabay.

Jednadžba

Jednadžba je sljedeća:

Sa x = 0, 1, 2, 3….n, gdje je:

- P (x) je vjerojatnost da ćemo imati točno x uspjeha između n pokušaja ili pokusa.

- x je varijabla koja opisuje fenomen koji zanima, a odgovara broju uspjeha.

- n broj pokušaja

- p je vjerojatnost uspjeha u 1 pokušaju

- q je vjerojatnost neuspjeha u 1 pokušaju, dakle q = 1 - p

Uskličnik "!" koristi se za tvorničku notaciju, tako da:

0! = 1

jedan! = 1

dva! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

I tako dalje.

Koncept

Binomna raspodjela vrlo je prikladna za opisivanje situacija u kojima se događaj događa ili ne. Ako se dogodi, to je uspjeh, a ako ne, onda je neuspjeh. Nadalje, vjerojatnost uspjeha mora uvijek ostati konstantna.

Postoje fenomeni koji odgovaraju tim uvjetima, na primjer bacanje novčića. U ovom slučaju možemo reći da je "uspjeh" dobivanje lica. Vjerojatnost je ½ i ne mijenja se, bez obzira koliko puta je novac bačen.

Valjak poštene matrice još je jedan dobar primjer, kao što je kategoriziranje određene proizvodnje u dobre komade i neispravne komade i dobivanje crvene umjesto crne boje prilikom okretanja koluta s ruletom.

karakteristike

Karakteristike binomne distribucije možemo sažeti na sljedeći način:

- Bilo koji događaj ili opažanje izvlači se iz beskonačne populacije bez zamjene ili iz ograničene populacije koja zamjenjuje.

- Razmatraju se samo dvije mogućnosti, međusobno isključive: uspjeh ili neuspjeh, kako je objašnjeno na početku.

- Vjerojatnost uspjeha mora biti konstantna u bilo kojem promatranju.

- Rezultat bilo kojeg događaja neovisan je o bilo kojem drugom događaju.

- Srednja vrijednost binomne distribucije je np

- Standardno odstupanje je:

Primjer aplikacije

Uzmimo jednostavan događaj, koji može biti dobivanje 2 glave 5 valjanjem poštenog umreža 3 puta. Kolika je vjerojatnost da će se u 3 bacanja dobiti 2 glave od 5?

Na primjer, postoji nekoliko načina da se to postigne:

- Prva dva lansiranja su 5, a posljednja nisu.

- Prvi i zadnji su 5, ali ne i srednji.

- Zadnja dva bacanja su 5, a prva ne.

Uzmimo za primjer prvi niz opisan i izračunajmo njegovu vjerojatnost pojave. Vjerojatnost dobivanja 5 glava na prvom kolu je 1/6, a također i na drugom, jer su to neovisni događaji.

Vjerojatnost dobivanja druge glave osim 5 na zadnjem kolu je 1 - 1/6 = 5/6. Stoga je vjerojatnost da će ovaj slijed izaći proizvod vjerojatnosti:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023

Što je s ostala dva nastavka? Imaju istu vjerojatnost: 0,023.

A budući da imamo ukupno 3 uspješna nastavka, ukupna vjerojatnost će biti:

Primjer 2

Jedno sveučilište tvrdi da 80% studenata na fakultetskoj košarkaškoj ekipi diplomira. Istraga istražuje akademsku evidenciju 20 studenata koji su pripadali spomenutom košarkaškom timu koji su se prije nekog vremena upisali na sveučilište.

Od tih 20 studenata, 11 je završilo studij, a 9 je odustalo.

Slika 2. Gotovo svi studenti koji igraju za fakultetski tim diplomiraju. Izvor: Pixabay.

Ako je izjava sveučilišta tačna, broj studenata koji igraju košarku i diplomiraju, od 20, trebao bi imati binomnu raspodjelu s n = 20 i p = 0,8. Kolika je vjerojatnost da će točno 11 od 20 igrača diplomirati?

Riješenje

U binomnoj raspodjeli:

Primjer 3

Istraživači su proveli studiju kako bi utvrdili postoje li značajne razlike u stopama diplomiranja između studenata medicine primljenih u posebne programe i studenata medicine koji su primljeni kroz redovite kriterije za upis.

Pokazalo se da je stopa diplomiranja 94% za studentske liječnike primljene kroz posebne programe (na temelju podataka Journal of the American Medical Association).

Ako je 10 posebnih programa studenti odabrani nasumično, pronađite vjerojatnost da je najmanje 9 studenata diplomiralo.

b) Bilo bi neobično nasumično odabrati 10 studenata iz posebnih programa i ustanoviti da je samo njih 7 diplomiralo?

Riješenje

Vjerojatnost da će student primljen kroz poseban program diplomirati je 94/100 = 0,94. Iz posebnih programa odabiremo n = 10 studenata i želimo otkriti vjerojatnost da će najmanje 9 studenata diplomirati.

Sljedeće su vrijednosti supstituirane u binomnoj distribuciji:

b)

Reference

1. Berenson, M. 1985. Statistika za menadžment i ekonomiju. Interamericana SA
2. MathWorks. Binomna distribucija. Oporavak od: es.mathworks.com
3. Mendenhall, W. 1981. Statistika za menadžment i ekonomiju. 3.. izdanje. Grupo Uredništvo Iberoamérica.
4. Moore, D. 2005. Primijenjena osnovna statistika. 2.. Izdanje.
5. Triola, M. 2012. Osnovna statistika. 11.. Ed. Pearson Education.
6. Wikipedia. Binomna distribucija. Oporavilo sa: es.wikipedia.org