- Formula
- Euklidska udaljenost u dvije dimenzije
- Neeuklidske površine
- Euklidska udaljenost u n dimenzijama
- Kako izračunati euklidsku udaljenost
- Primjer
- Reference
Euklidska udaljenost je pozitivan broj koji označava udaljenost između dvije točke u prostoru u kojem su ispunjeni aksiomi i teoremi Euklida geometrije.
Udaljenost između dviju točaka A i B u euklidskom prostoru je duljina vektora AB koji pripada jedinoj liniji koja prolazi kroz te točke.
Slika 1. Jednodimenzionalni euklidski prostor formiran linijom (OX). Na navedenom prostoru prikazano je nekoliko točaka, njihove koordinate i udaljenosti. (Priredio Ricardo Pérez).
Prostor koji ljudi percipiraju i gdje se mi krećemo trodimenzionalni (3-D) prostor u kojem su ispunjeni aksiomi i teoremi Euklidove geometrije. Dvodimenzionalni podprostori (ravnine) i jednodimenzionalni podprostori (linije) sadržani su u ovom prostoru.
Euklidski prostori mogu biti jednodimenzionalni (1-D), dvodimenzionalni (2-D), trodimenzionalni (3-D) ili n-dimenzionalni (nD).
Točke u jednodimenzionalnom prostoru X su one koje pripadaju orijentiranoj liniji (OX), smjer od O do X je pozitivan smjer. Za lociranje točaka na ovoj crti koristi se kartezijanski sustav koji se sastoji od dodjeljivanja broja svakoj točki pravca.
Formula
Euklidska udaljenost d (A, B) između točaka A i B, smještenih na liniji, definirana je kao kvadrat korijena kvadrata razlika njihovih X koordinata:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Ova definicija jamči da je: udaljenost između dviju točaka uvijek pozitivna količina. I da je udaljenost između A i B jednaka udaljenosti između B i A.
Na slici 1 prikazan je jednodimenzionalni euklidski prostor formiran linijom (OX) i nekoliko točaka na navedenoj liniji. Svaka točka ima koordinat:
Točka A ima koordinat XA = 2,5, točka B koordinata XB = 4, a točka C koordinata XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Euklidska udaljenost u dvije dimenzije
Dvodimenzionalni euklidski prostor je ravnina. Točke euklidske ravnine ispunjavaju aksiome euklidske geometrije, na primjer:
- Jedna linija prolazi kroz dvije točke.
- Tri točke na ravnini tvore trokut čiji se unutarnji kutovi uvijek dodaju do 180 °.
- U pravom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata njegovih nogu.
U dvije dimenzije, točka ima X i Y koordinate.
Na primjer, točka P ima koordinate (XP, YP) i točku Q koordinate (XQ, YQ).
Euklidska udaljenost između točke P i Q definirana je sljedećom formulom:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Treba napomenuti da je ova formula jednaka pitagorejskom teoremu, kao što je prikazano na slici 2.
Slika 2. Udaljenost između dviju točaka P i Q u ravnini ispunjava pitagorejski teorem. (Priredio Ricardo Pérez).
Neeuklidske površine
Nisu svi dvodimenzionalni prostori u skladu s euklidskom geometrijom. Površina sfere je dvodimenzionalni prostor.
Kutovi trokuta na sferičnoj površini ne zbroje 180 °, a s tim pitagorejska teorema nije ispunjena, dakle, sferna površina ne ispunjava Euklidove aksiome.
Euklidska udaljenost u n dimenzijama
Koncept koordinata može se proširiti na veće dimenzije:
- U 2-D točki P ima koordinate (XP, YP)
- U 3-D točka Q ima koordinate (XQ, YQ, ZQ)
- U 4-D točka R će imati koordinate (XR, YR, ZR, WR)
- U nD točka P će imati koordinate (P1, P2, P3,….., Pn)
Udaljenost između dviju točaka P i Q n-dimenzionalnog euklidskog prostora izračunava se sljedećom formulom:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 +…….. + (Qn - Pn) ^ 2)
Položaj svih točaka Q u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru, jednakom udaljenom od druge fiksne točke P (u sredini), stvara n-dimenzionalnu hipersferu.
Kako izračunati euklidsku udaljenost
Sljedeće pokazuje kako se izračunava udaljenost između dviju točaka smještenih u euklidskom trodimenzionalnom prostoru.
Pretpostavimo da je točka A kartezijanske koordinate x, y, z dana A:(2, 3, 1) i točka B koordinata B:(-3, 2, 2).
Želimo odrediti udaljenost između ovih točaka za koje se koristi opći odnos:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5.196
Primjer
Postoje dvije točke P i Q. Točka P kartezijanskih koordinata x, y, z dana P:(2, 3, 1) i točka Q koordinata Q:(-3, 2, 1).
Od njega se traži da nađe koordinate srednje točke M segmenta koja povezuje dvije točke.
Pretpostavlja se da nepoznata točka M ima koordinate (X, Y, Z).
Budući da je M srednja točka, mora biti istina da je d (P, M) = d (Q, M), pa d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 također mora biti istinito:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Kako je u ovom slučaju treći izraz jednak u oba člana, prethodni izraz pojednostavljuje:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Zatim imamo jednadžbu s dvije nepoznate X i Y. Za rješavanje problema potrebna je druga jednadžba.
Točka M pripada liniji koja prolazi kroz točke P i Q, a koju možemo izračunati na sljedeći način:
Prvo pronalazimo direktorski vektor PQ retka: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Tada je PM = OP + a PQ, gdje je OP vektor pozicije točke P i parametar je koji pripada stvarnim brojevima.
Gornja jednadžba poznata je kao vektorska jednadžba pravca koja u kartezijanskim koordinatama ima sljedeći oblik:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Izjednačavanje odgovarajućih sastavnih dijelova imamo:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Odnosno, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, na kraju Z = 1.
Supstituirana je u kvadratnom izrazu koji se odnosi na X na Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Pojednostavljeno je:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Sada se odvija:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Pojednostavljeno je, otkažući pojmove u oba člana:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parametar a je obrisan:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 što rezultira a = 1.
Odnosno, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, konačno Z = 1.
Konačno dobivamo kartezijanske koordinate srednje točke M segmenta:
M: (-1, 5, 1).
Reference
- Lehmann C. (1972) Analitička geometrija. UTEHA.
- Superprof. Udaljenost između dvije točke. Oporavak od: superprof.es
- UNAM. Udaljenost između afine sublinearnih razdjelnika. Oporavak od: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Euklidska udaljenost. Oporavak od: es.wikipedia.com
- wikipedia. Euklidski prostor. Oporavak od: es.wikipedia.com