RAZLIKA KOCKE: FORMULE, JEDNADŽBE, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Razlika od kocke je binomna algebarski izraz tvori ³ - b ³, gdje su uvjeti A i B mogu biti realni brojevi ili algebarski izrazi različitih vrsta. Primjer razlike kocke je: 8 - x ³, jer se 8 može napisati kao 2 ³.

Geometrijski možemo misliti na veliku kocku, sa stranom a, od koje se oduzima mala kocka sa stranom b, kao što je prikazano na slici 1:

Slika 1. Razlika u kockicama. Izvor: F. Zapata.

Volumen dobivenog broja točno je razlika u kockicama:

V = a ³ - b ³

Da bi se pronašao alternativni izraz, primijećeno je da se ta brojka može rastaviti u tri prizme, kao što je prikazano u nastavku:

Slika 2. Razlika kocke (lijevo od jednakosti) jednaka je zbroju parcijalnih volumena (desno). Izvor: F. Zapata.

Prizma ima volumen dat proizvod tri njegove dimenzije: širina x visina x dubina. Na taj način, dobiveni volumen je:

V = a ³ - b ³ = a ².b + b ³ + ab ²

Faktor b je uobičajen na desnoj strani. Nadalje, na gornjoj slici posebno je točno da:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Stoga se može reći da je: b = a - b. Tako:

Ovakav način izražavanja razlike kocke pokazaće se vrlo korisnim u mnogim primjenama i dobio bi se na isti način, čak i ako bi strana kocke koja nedostaje u kutu bila drugačija od b = a / 2.

Imajte na umu da drugi zagrade u velikoj mjeri nalikuju izrazitom proizvodu kvadrata zbroja, ali se poprečni izraz ne množi s 2. Čitatelj može proširiti desnu stranu kako bi provjerio je li ³ - b ³ uistinu dobiven.

Primjeri

Postoji nekoliko razlika kocke:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² i ⁶

(1/125).x ⁶ - 27.y ⁹

Analizirajmo svaki od njih. U prvom primjeru 1 se može napisati kao 1 = 1 ³ i izraz m ⁶ postaje: (m ²) ³. Oba su termina savršena kocka, stoga je njihova razlika sljedeća:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³

U drugom primjeru izrazi su prepisani:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴) ³ (y ²) ³ = (2z ⁴ y ²) ³

Razlika ovih kockica je: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³.

Konačno, frakcija (1/125) je (1/5 ³), x ⁶ = (x ²) ³, 27 = 3 ^3, a y ⁹ = (y ³) ³. Zamijenivši sve to u izvornom izrazu, dobivate:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³) ³

Faktoring razlike kocke

Faktoring razlike kocke pojednostavljuje mnoge algebarske operacije. Da biste to učinili, samo upotrijebite gore navedenu formulu:

Slika 3. Faktorizacija razlike u kockicama i izražaj izvanrednog kvocijenta. Izvor: F. Zapata.

Sada se postupak primjene ove formule sastoji od tri koraka:

- Na prvom se mjestu dobiva kocka korena svakog od izraza razlike.

- Tada se grade binom i trinom, koji se pojavljuju na desnoj strani formule.

- Konačno, binom i trinom su zamijenjeni da bi se dobila konačna faktorizacija.

Ilustrirajmo uporabu ovih koraka sa svakim gore navedenim primjerima razlike u kocki i tako ćemo dobiti faktorski ekvivalent.

Primjer 1

Faktor izraza 1 - m ⁶ prate korake opisane. Započinjemo prepisivanjem izraza kao 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³ kako bismo izvukli odgovarajuće kocke korijena svakog termina:

Zatim se grade binom i trinom:

a = 1

b = m ²

Tako:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ²) = 1 ² + 1.m ² + (m ²) ² = 1 + m ² + m ⁴

Konačno, supstituiran je u formuli a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ²):

1 - m ⁶ = (1 - m ²) (1 + m ² + m ⁴)

Primjer 2

Razložiti na činioce:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³

Budući da su to savršene kocke, korijeni kocke su neposredni: a ² b i 2z ⁴ i ², te proizlazi iz sljedećeg:

- Binom: a ² b - 2z ⁴ i ²

- Trinom: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ²) ²

A sada se konstruira željena faktorizacija:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ²).

U principu, faktoring je spreman, ali često je potrebno pojednostaviti svaki termin. Tada se razvija izvanredan proizvod - kvadrat zbroja - koji se pojavljuje na kraju, a zatim se dodaju slični izrazi. Sjećajući se da je kvadrat zbroja:

Značajni proizvod s desne strane razvijen je ovako:

(a ² b + 2z ⁴ i ²) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ i ² + 4z ⁸ i ⁴

Zamjena proširenja dobivenog faktorizacijom razlike kockica:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

Konačno, grupirajući poput pojmova i faktorirajući numeričke koeficijente, koji su jednoliki, dobivamo:

(a ² b - 2z ⁴ y ²). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ²).

Primjer 3

Razdvajanje faktora (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ mnogo je lakše nego u prethodnom slučaju. Prvo se identificiraju ekvivalenti a i b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Tada su izravno supstituirani u formuli:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ =.

Vježba riješena

Razlika u kockama ima, kao što smo rekli, razne primjene u Algebri. Pogledajmo neke:

Vježba 1

Riješite sljedeće jednadžbe:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Rješenje za

Prvo se jednadžba obrađuje na ovaj način:

x ² (x ³ - 125) = 0

Budući da je 125 savršena kocka, zagrade se pišu kao kocke razlike:

x ². (x ³ - 5 ³) = 0

Prvo rješenje je x = 0, ali nalazimo više ako napravimo x ³ - 5 ³ = 0, tada:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Rješenje b

Lijeva strana jednadžbe prepisana je kao 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³. Tako:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Budući da je eksponent isti:

9x = 4 → x = 9/4

Vježba 2

Faktor izraza:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Riješenje

Ovaj izraz je razlika u kockicama, ako u formuli za faktoring zabilježimo da:

a = x + y

b = x- y

Tada se prvo gradi binom:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

A sada trinom:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Uočljivi su proizvodi:

Zatim morate zamijeniti i smanjiti pojmove:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Faktoring rezultati u:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ²)

Reference

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Urednička kulturna Venezolana SA
2. Zaklada CK-12. Zbroj i razlika kocke. Oporavilo sa: ck12.org.
3. Khan Akademija. Faktoring razlika kockica. Oporavilo sa: es.khanacademy.org.
4. Math is Fun Advanced. Razlika u dvije kocke. Oporavak od: mathsisfun.com
5. UNAM. Faktoring razlike kocke. Oporavak od: dcb.fi-c.unam.mx.