PROMJER: SIMBOLI I FORMULE, KAKO GA DOBITI, OPSEG - MATEMATIKA - 2026

Promjer je ravna crta koja prolazi kroz središte zatvorenom ravnu krivulju ili figura u dvije ili tri dimenzije, te da je također pridružuje svoje suprotne točke. To je obično krug (ravna krivulja), krug (ravna figura), sfera ili desni kružni cilindar (trodimenzionalni predmeti).

Iako se obim i krug obično uzimaju kao sinonimi, postoji razlika između dva pojma. Opseg je zatvorena krivulja koja zatvara krug, a ispunjava uvjet da je udaljenost između bilo koje njegove točke i središta jednaka. Ta udaljenost nije ništa drugo do polumjer obima. Umjesto toga, krug je ravna figura omeđena obodom.

Slika 1. Promjer biciklističkih kotača važno je svojstvo u njihovom dizajnu. Izvor: Pixabay.

U slučaju obima, kruga i sfere, promjer je ravni segment koji sadrži najmanje tri točke: središte plus dvije točke ruba oboda ili kruga ili površina sfere.

A što se tiče pravog kružnog cilindra, promjer se odnosi na presjek, koji su zajedno s visinom njegova dva karakteristična parametra.

Promjer opsega i kruga, koji simbolizira ø ili jednostavno slovo "D" ili "d", povezan je s njegovim perimetrom, konturama ili duljinom, što se označava slovom L:

L = π.D = π. ili

Sve dok postoji obim, kvocijent između njegove duljine i promjera je iracionalni broj π = 3,14159…, ovako:

π = L / D

Kako doći do promjera?

Kad imate crtež obima ili kruga, ili izravno kružni predmet, kao što je primjerice novčić ili prsten, vrlo je lako pronaći promjer pomoću ravnala. Samo se morate pobrinuti da rub ravnine istodobno dodiruje dvije točke na obodu i središte istog.

Šestar, remen ili čeljust vrlo je pogodan za mjerenje vanjskog i unutarnjeg promjera na kovanicama, obručima, prstenovima, maticama, cijevima i više.

Slika 2. Digitalni vernier koji mjeri promjer novčića. Izvor: Pixabay.

Ako umjesto objekta ili njegovog crteža imamo podatke poput polumjera R, množenjem sa 2 imamo promjer. A ako je poznata duljina ili perimetar obima, promjer se također može znati uklanjanjem:

Drugi način pronalaska promjera je poznavanje područja kruga, sferne površine, presjeka cilindra, zakrivljenog područja cilindra ili volumena sfere ili cilindra. Sve ovisi o geometrijskoj figuri. Na primjer, promjer je uključen u sljedeća područja i količine:

-Okružnost kruga: π. (D / 2) ²

-Oblika sferne površine: 4π. (D / 2) ²

-Voličina sfere: (4/3) π. (D / 2) ³

-Velika od desni kružni cilindar: π. (D / 2) ².H (H je visina cilindra)

Brojke stalne širine

Krug je ravna figura stalne širine, jer gdje god je pogledate, širina je promjera D. Međutim, postoje i druge možda manje poznate figure čija je širina također konstantna.

Prvo, da vidimo što se razumijeva širinom figure: to je udaljenost između dviju paralelnih linija - potpornih linija -, koje su zauzvrat okomite na zadani smjer i zatvaraju lik, kao što je prikazano na lijevoj slici:

Slika 3. Širina bilo kojeg ravnog lika (lijevo) i Reuleauxova trokuta, figura konstantne širine (desno). Izvor: F. Zapata.

S desne strane je Reuleauxov trokut, koji je figura stalne širine i koja ispunjava uvjet naveden na lijevoj slici. Ako je širina slike D, njegov je perimetar dat Barbierovim teoremom:

L = π.D

Kanalizacije grada San Francisca u Kaliforniji oblikovane su poput Reuleauxova trokuta, nazvanog po njemačkom inženjeru Franzu Reuleauxu (1829. - 1905.). Na taj način poklopci ne mogu proći kroz rupu, a manje ih se koristi za proizvodnju, jer je njihova površina manja od kruga:

A = (1- √3).πD ² = 0.705.D ²

Dok ste za krug:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0.785. D ²

Ali ovaj trokut nije jedini lik stalne širine. Možete graditi takozvane Reuleaux poligone s drugim mnogokutima koji imaju neparan broj strana.

Promjer opsega

Na sljedećoj su slici elementi kruga, definirani na sljedeći način:

Akord: linijski segment koji spaja dvije točke na obodu. Na slici je akord koji spaja točke C i D, ali mogu se crtati beskonačni akordi koji se pridružuju bilo kojem paru točaka na obodu.

Promjer: to je akord koji prolazi kroz središte, spajajući dvije točke opsega sa središtem O. To je najduži akord opsega, zbog čega se naziva "glavni akord".

Polumjer: linijski segment koji se spaja sa središtem s bilo kojom točkom na obodu. Njegova vrijednost, kao i promjer, je konstantna.

Kružnica: to je skup svih točaka koje su jednake od O.

Luk: definira se kao segment opsega koji je određen dva radijusa (nisu nacrtani na slici).

Slika 4. Dijelovi opsega, uključujući i promjer, koji prolaze kroz središte. Izvor: Wikimedia Commons.

- Primjer 1

Prikazani pravokutnik visok je 10 inča koji prilikom valjanja tvori desni kružni cilindar čiji je promjer 5 inča. Odgovorite na sljedeća pitanja:

Slika 5. Valjani pravokutnik postaje desni kružni cilindar. Izvor: Jiménez, R. Matematika II. Geometrija i trigonometrija. 2.. Izdanje. Pearson.

a) Kolika je kontura cijevi?

b) Pronađite područje pravokutnika

c) Pronađite područje poprečnog presjeka cilindra.

Rješenje za

Izgled cijevi je L = π.D = 5π in = 15,71 in.

Rješenje b

Područje pravokutnika je osnovna visina x, pri čemu je baza L već izračunata, a visina je 10 inča prema izjavi, dakle:

A = 15,71 u x 10 in = 157,1 u ².

Rješenje c

Konačno, traženo područje se izračunava ovako:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 in.) ² = 19,63 in. ².

- Primjer 2

Izračunajte zasjenjeno područje na slici 5a. Trg ima stranu L.

Slika 6. Na lijevoj slici pronađite osjenčano područje. Jiménez, R. Matematika II. Geometrija i trigonometrija. 2.. Izdanje. Pearson.

Riješenje

Na slici 5b u ružičastoj i plavoj boji nacrtana su dva polukruga jednake veličine, naslonjena na izvornu sliku. Između njih čine cjeloviti krug. Ako pronađete područje kvadrata i oduzmete područje kruga, napravite zasjenjeno područje na slici 5b. I gledajući izbliza, ispada da je to polovica zasjenjenog područja u 5a.

-Površina kvadrata: L ^2-

promjer polukruga: L-

površina kruga: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²

-razlika površina = polovica zasjenjenog područja =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Shaded površina = 2 x 0,2146 L ² -0.4292L2

Koliko promjera ima opseg?

Na krugu možete crtati beskonačne promjere, a bilo koji od njih mjeri isti.

Reference

1. Antonio. Reuleaux trokuti i ostale krivulje konstantne širine. Oporavilo od: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Geometrija ravnina i svemira i trigonometrija. Patria Cultural Group.
3. Jiménez, R. Matematika II. Geometrija i trigonometrija. 2.. Izdanje. Pearson.
4. Wikipedia. Reuleauxov trokut. Oporavilo sa: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Promjer. Oporavak od: mathworld.wolfram.com.