NEJEDNAKOST TROKUTA: DOKAZ, PRIMJERI, RIJEŠENE VJEŽBE - MATEMATIKA - 2024

Zove se nejednako svojstvo trokuta koje zadovoljavaju dva realna broja koja se sastoje od apsolutne vrijednosti njihova zbroja uvijek je manja ili jednaka zbroju njihovih apsolutnih vrijednosti. Ovo svojstvo je također poznato kao Minkowski nejednakost ili trokutasta nejednakost.

Ovo svojstvo brojeva nazivamo trokutastom nejednakošću, jer se u trokutima događa da je duljina jedne strane uvijek manja ili jednaka zbroju ostale dvije, premda se ta nejednakost ne primjenjuje uvijek u području trokuta.

Slika 1. Apsolutna vrijednost zbroja dva broja uvijek je manja ili jednaka zbroju njihovih apsolutnih vrijednosti. (Priredio R. Pérez)

Postoji nekoliko dokaza trokutaste nejednakosti u stvarnim brojevima, ali u ovom ćemo slučaju odabrati jedan na temelju svojstava apsolutne vrijednosti i binomnog kvadrata.

Teorem: Za svaki par brojeva a i b koji pripadaju stvarnim brojevima imamo:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstracija

Započinjemo razmatranjem prvog člana nejednakosti koji će se pojaviti na kvadrat:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Eq. 1)

U prethodnom koraku koristili smo svojstvo koje je bilo koji kvadratni kvadrat jednak apsolutnoj vrijednosti navedenog kvadratnog broja, to je: -x- ^ 2 = x ^ 2. Korištena je i kvadratna binomna ekspanzija.

Svaki je broj x manji ili jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Ako je broj pozitivan, jednak je, ali ako je broj negativan, uvijek će biti manji od pozitivnog broja. U ovom slučaju vlastitu apsolutnu vrijednost, to jest, može se reći da je x ≤ - x -.

Proizvod (ab) je broj, stoga se primjenjuje da (ab) ≤ - ab -. Kada se ovo svojstvo primijeni na (u. 1), imamo:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Eq. 2)

Uzimajući u obzir da se - ab - = - a - b - la (Eq. 2) može napisati kako slijedi:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Eq. 3)

Ali budući da smo prije rekli da je kvadrat broja jednak apsolutnoj vrijednosti kvadrata, tada se jednadžba 3 može prepisati na sljedeći način:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (uv. 4)

U drugom članu nejednakosti prepoznaje se izvanredan proizvod, koji kod primjene dovodi do:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (ravnopravnost 5)

U prethodnom izrazu treba napomenuti da su vrijednosti koje se kvadratuju u oba člana nejednakosti pozitivne, stoga također treba biti uvjeren da:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (ravnoteža 6)

Prethodni izraz je upravo ono što ste željeli pokazati.

Primjeri

Dalje ćemo provjeriti trokutastu nejednakost s nekoliko primjera.

Primjer 1

Uzimamo vrijednost a = 2 i vrijednost b = 5, odnosno oba pozitivna broja i provjeravamo je li nejednakost zadovoljena ili ne.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Jednakost je provjerena, stoga je ispunjena teorema o nejednakosti trokuta.

Primjer 2

Sljedeće vrijednosti a = 2 i b = -5 su odabrane, to jest pozitivan broj, a druga negativna, provjeravamo je li nejednakost zadovoljena ili ne.

- 2 - 5 - ≤ -2- + - 5-

- -3 - ≤ -2- + - 5-

3 ≤ 2 + 5

Nejednakost je zadovoljena, stoga je provjerena teorema o trokutnoj nejednakosti.

Primjer 3

Uzimamo vrijednost a = -2, a vrijednost b = 5, odnosno negativan broj, a drugi pozitivan, provjeravamo je li nejednakost zadovoljena ili ne.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Nejednakost je provjerena, stoga je teorema ispunjena.

Primjer 4

Odabrane su sljedeće vrijednosti a = -2 i b = -5, to jest oba negativna broja i provjeravamo je li nejednakost zadovoljena ili ne.

- -2 - 5 - ≤ --2- + - 5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Jednakost je provjerena, stoga je ispunjena teorema o nejednakosti Minkowski.

Primjer 5

Uzimamo vrijednost a = 0, a vrijednost b = 5, tj. Broj nula i drugo pozitivno, zatim provjeravamo je li nejednakost zadovoljena ili ne.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Jednakost je ispunjena, stoga je provjerena teorema o nejednakosti trokuta.

Primjer 6

Uzmemo vrijednost a = 0, a vrijednost b = -7, odnosno broj nula, a drugi pozitivno, zatim provjeravamo je li nejednakost zadovoljena ili ne.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Jednakost je provjerena, stoga je ispunjena teorema o trokutnoj nejednakosti.

Riješene vježbe

U sljedećim vježbama geometrijski predstavite trokutnu nejednakost ili Minkowskijevu nejednakost za brojeve a i b.

Broj a bit će predstavljen kao segment na X osi, njegovo podrijetlo O podudara se s nulom osi X, a drugi kraj segmenta (u točki P) bit će u pozitivnom smjeru (udesno) osi X ako je a > 0, ali ako je <0 to će biti prema negativnom smjeru osi X, onoliko jedinica koliko mu daje apsolutna vrijednost.

Slično tome, broj b bit će predstavljen kao segment čije je ishodište u točki P. Druga krajnost, tj. Točka Q bit će desno od P ako je b pozitivno (b> 0), a točka Q će biti -b - jedinice s lijeve strane P ako je b <0.

Vježba 1

Grafikujte nejednakost trokuta za a = 5 i b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, gdje je c = a + b.

Vježba 2

Grafikujte trokutastu nejednakost za a = 5 i b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, gdje je c = a + b.

Vježba 3

Grafički prikazujte nejednakost trokuta za a = -5 i b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, gdje je c = a + b.

Vježba 4

Grafički konstruirajte trokutastu nejednakost za a = -5 i b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, gdje je c = a + b.

Reference

1. E. Whitesitt. (1980.) Boolova algebra i njezine primjene. Uredništvo tvrtke Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elementi apstraktne analize., Odjel za matematiku. Sveučilišni fakultet Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematika i inženjerstvo u računalnim znanostima. Institut za računalne znanosti i tehnologiju. Nacionalni biro za norme. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematika za informatiku. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Račun. Odjel za matematiku i računalnu znanost i AI laboratorij, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan Akademija. Teorem nejednakosti trokuta. Oporavilo sa: khanacademy.org
7. Wikipedia. Trokutna nejednakost. Oporavak od: es. wikipedia.com