DJELOMIČNI DERIVATI: ZAPIS, PRIMJERI I RIJEŠENE VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

U parcijalne derivacije od funkcija nekoliko varijabli su oni koji određuju brzinu promjene funkcije kada je jedna od varijabli ima vrlo mali varijacije, dok su ostale varijable ostaju nepromijenjene.

Da bi ideja bila konkretnija, pretpostavimo slučaj funkcije dvije varijable: z = f (x, y). Djelomični derivat funkcije f u odnosu na varijablu x izračunava se kao obični derivat s obzirom na x, ali uzimajući varijablu y kao da je konstanta.

Slika 1. Funkcija f (x, y) i njeni parcijalni derivati ​​∂ _x f y ∂ _y f u točki P. (elaborirao R. Pérez s geogebrom)

Djelomična oznaka na izvedenici

Rad djelomičnih derivata funkcije f (x, y) na varijabli x označen je na bilo koji od sljedećih načina:

U djelomičnim izvedenicama koristi se simbol ∂ (vrsta zaobljenog slova d koje se također naziva Jacobijev d), za razliku od običnog derivata za funkcije s jednom varijabli gdje se slovo d koristi za izvedenicu.

Općenito govoreći, djelomična izvedenica multivarijantne funkcije u odnosu na jednu od njenih varijabli rezultira novom funkcijom u istim varijablama izvorne funkcije:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Proračun i značenje djelomične izvedenice

Da biste odredili brzinu promjene ili nagiba funkcije za određenu točku (x = a, y = b) u smjeru paralelnom s osi X:

1- Izračunava se funkcija ∂ _x f (x, y) = g (x, y), uzimajući obični derivat u varijabli x i ostavljajući varijablu y fiksnu ili konstantnu.

2- Tada je vrijednost točke x = a i y = b supstituirana u kojoj želimo znati brzinu promjene funkcije u smjeru x:

{Nagib u smjeru x u točki (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Da biste izračunali brzinu promjene smjera y u koordinatnoj točki (a, b), prvo izračunajte ∂ _i f (x, y) = h (x, y).

4- Tada se točka (x = a, y = b) supstituira u prethodnom rezultatu radi dobivanja:

{Nagib u smjeru y u točki (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Primjeri djelomičnih derivata

Neki primjeri djelomičnih derivata su sljedeći:

Primjer 1

S obzirom na funkciju:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Pronađite parcijalne derivate funkcije f s obzirom na varijablu x i varijablu y.

Riješenje:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Imajte na umu da je za izračunavanje djelomičnog derivata funkcije f s obzirom na varijablu x izveden običan derivat s obzirom na x, ali varijabla y je uzeta kao da je konstantna. Slično tome, u proračunu parcijalnog derivata f u odnosu na y, varijabla x je uzeta kao da je konstanta.

Funkcija f (x, y) je površina koja se naziva paraboloid prikazan na slici 1 u oker boji.

Primjer 2

Pronađite brzinu promjene (ili nagiba) funkcije f (x, y) iz primjera 1, u smjeru osi X i osi Y za točku (x = 1, y = 2).

Rješenje: Da biste pronašli nagibe u pravcima x i y u zadanoj točki, jednostavno zamijenite vrijednosti točke u funkciju ∂ _x f (x, y) i u funkciju ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _i f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Slika 1 prikazuje tangencijalnu liniju (crvene boje) krivulje koja je određena sjecištem funkcije f (x, y) s ravninom y = 2, nagib ove crte je -2. Slika 1 prikazuje i tangencijalnu liniju (zelenom bojom) krivulje koja definira sjecište funkcije f s ravninom x = 1; Ova linija ima nagib -4.

vježbe

Vježba 1

Konusna čaša u određenom trenutku sadrži vodu tako da površina vode ima polumjer r i dubinu h. Ali čaša ima malu rupu na dnu kroz koju se gubi voda brzinom od C kubičnih centimetara u sekundi. Odredite brzinu spuštanja s vodene površine u centimetrima u sekundi.

Riješenje:

Prije svega, potrebno je zapamtiti da je količina vode u datom trenutku:

Glasnoća je funkcija dviju varijabli, radijusa r i dubine h: V (r, h).

Kad se volumen promijeni s infinitezimalnom količinom dV, polumjer r vodene površine i dubina h vode također se mijenjaju prema sljedećem odnosu:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Prelazimo na izračun parcijalnih derivata V s obzirom na r i h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Nadalje, polumjer r i dubina h zadovoljavaju sljedeći odnos:

Podjela oba člana vremenskom razlikom dt daje:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Ali dV / dt je volumen vode izgubljene u jedinici vremena za koji se zna da iznosi C centimetara u sekundi, dok je dh / dt brzina spuštanja slobodne površine vode, koja će se zvati v. To jest, vodena površina u zadanom trenutku spušta se brzinom v (u cm / s) koju daje:

v = C / (π r ^ 2).

Kao numeričku primjenu, pretpostavimo da je r = 3 cm, h = 4 cm, a brzina istjecanja C je 3 cm ^ 3 / s. Tada je brzina spuštanja površine u tom trenutku:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Vježba 2

Teorem Clairaut-Schwarz kaže da ako je funkcija kontinuirana u svojim neovisnim varijablama, a njeni parcijalni derivati ​​s obzirom na neovisne varijable su također kontinuirani, tada se miješani derivati ​​drugog reda mogu zamijeniti. Provjerite ovu teoremu za funkciju

f (x, y) = x ^ 2 y, to jest, mora biti istina da je f _xy f = ∂ _yx f.

Riješenje:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), dok je ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Dokazano je da je Schwarzova teorema postojala jer su funkcija f i njeni parcijalni derivati ​​kontinuirani za sve stvarne brojeve.

Reference

1. Frank Ayres, J., i Mendelson, E. (2000). Proračun 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Proračun s analitičkom geometrijom. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., i Rigdon, SE (2007). Proračun. Meksiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferencijalno računanje. Hipotenuza.
5. Saenz, J. (2006). Integralno računanje. Hipotenuza.
6. Wikipedia. Djelomični derivat. Oporavak od: es.wikipedia.com