- Kako se rješavaju implicitni derivati?
- Pravilo lanca
- Operativni nalog
- implicitan
- Povijest
- Prijave
- Riješene vježbe
- Vježba 1
- Vježba 2
- Reference
U implicitne derivati su alati koji se koriste u diferenciranjem tehnika primjenjuje na funkcije. Primjenjuju se kad nije moguće, u redovnim metodama, odlučiti za dobivenu ovisnu varijablu. Taj se zazor vrši kao funkcija neovisne varijable.
Na primjer, u izrazu 3xy 3 - 2y + xy 2 = xy, izraz koji definira "y" kao funkciju "x" ne može se dobiti. Tako da se dobivanjem diferencijalnog izraza može dobiti d / dx.
Kako se rješavaju implicitni derivati?
Da bismo riješili implicitnu izvedenicu, započinjemo s implicitnim izrazom. Na primjer: 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0. Ovo je već ispravno riješeno, no to nije nužan uvjet za dobivanje derivata y u odnosu na x. Tada je svaki od elemenata izveden poštujući lančano pravilo za miješane funkcije:
3xy 3 sastoji se od dvije varijable, stoga će d (3xy 3) biti tretiran kao derivat proizvoda funkcije.
d (3xy 3) / dx = 3y 3 + 3y 2. (3x) y '= 3y 3 + 9xy 2 y'
Tamo gdje je element y 'poznat kao «y pravedan» i predstavlja dy / dx
-2y Izvedeno je po zakonu KU = K.U '
d (-2y) = -2 y '
xy 2 pretpostavlja drugi diferencijal sastavljen od proizvoda funkcija
d (xy 2) = y 2 + 2xy y '
-ksi se tretira homologno
d (-xy) = -y - x y '
Oni su supstituirani u jednakosti, znajući da je derivat od nule jednak nuli.
3y 3 + 9xy 2 y '- 2 y' + y 2 + 2xy y '- y - x y' = 0
Elementi koji imaju pojam y 'grupirani su na jednoj strani jednakosti
3y 3 + y 2 - y = -9xy 2 y '+ 2 y' + x y '
Zajednički faktor y 'vadi se s desne strane jednakosti
3y 3 + y 2 - y = y '(-9xy 2 + x + 2)
Na kraju se briše izraz koji se množi y '. Tako dobivamo izraz koji odgovara implicitnoj derivaciji y u odnosu na x.
y '= dy / dx = (3y 3 + y 2 - y) / (- 9xy 2 + x + 2)
Pravilo lanca
U implicitnoj izvedenici uvijek se poštuje pravilo lanca. Svi različiti izrazi će biti dati kao funkcija neovisne varijable X. Dakle, svaka varijabla θ osim X, nakon izvedbe mora sadržavati izraz dθ / dx.
Ovaj će se pojam pojaviti samo u prvom stupnju ili s eksponentom jednakim 1. Ova se kvaliteta jasno daje u skladu s tradicionalnim metodama faktoringa. Dakle, moguće je dobiti izraz koji definira razliku dθ / dx.
Pravilo lanca pokazuje progresivnu prirodu procesa diferencijacije ili derivacije. Gdje je za svaku složenu funkciju f, imamo da će diferencijalni izraz f biti
Operativni nalog
U svakoj formuli ili zakonu derivacije koji se primjenjuje mora se uzeti u obzir redoslijed varijabli. Kriteriji povezani s neovisnom varijablom poštuju se, ne mijenjajući njezinu povezanost s ovisnom varijablom.
Odnos zavisne varijable u trenutku izvedbe uzima se izravno; S izuzetkom što će se ovo smatrati drugom funkcijom, zbog čega se primjenjuje kriterij lančanog pravila za miješane funkcije.
To se može razviti u izraze s više od dvije varijable. Pod istim principima označit će se sve razlike koje se odnose na ovisne varijable.
Grafički se obrađuje isti kriterij koji definira izvedenicu. Dok je derivat nagib tangencijalne crte prema krivulji u ravnini, ostatak diferencijala koji pripadaju zavisnim varijablama (dy / dx, dz / dx) predstavljaju ravnine tangente na vektorska tijela opisana višestrukim promjenjivim funkcijama.
implicitan
Funkcija se kaže da je implicitno definiran, ako je y = izraz f (x) može se predstaviti kao višestruke funkcije varijabilne F (x, y) = 0, kao što je F dugo je definirano u R 2 ravnini.
3xy 3 - 2y + xy 2 = xy može se zapisati u obliku 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0
S obzirom na nemogućnost eksplicitnosti funkcije y = f (x).
Povijest
Različiti proračuni počeli su nazivati razni matematički istraživači oko sedamnaestog stoljeća. Prvi put se to spominjalo kroz priloge Newtona i Leibniz. Obojica su različito računali s različitih gledišta, ali u svojim rezultatima.
Dok se Newton fokusirao na diferencijaciju kao brzinu ili brzinu promjene, Leibnizov je pristup bio geometrijskiji. Može se reći da je Newton napao pretpostavke koje je ostavio Apollonius iz Pergea i Leibniz geometrijske ideje Fermata.
Implicitna izvedba pojavljuje se odmah kada se razmotre diferencijalne i integralne jednadžbe. Oni su Leibnizov geometrijski koncept proširili na R 3, pa čak i na višedimenzionalne prostore.
Prijave
Implicitni derivati koriste se u različitim situacijama. Česti su u problemima tečaja između povezanih varijabli, pri čemu će se varijable smatrati ovisnim ili neovisnim, ovisno o smislu studije.
Također imaju zanimljive geometrijske primjene, poput refleksije ili problema s sjenom, na figurama čiji se oblik može matematički modelirati.
Često se koriste u područjima ekonomije i inženjerstva, te u raznim istraživanjima prirodnih pojava i eksperimentalnim građevinama.
Riješene vježbe
Vježba 1
Definirajte implicitni izraz koji definira dy / dx
Svaki je element izraza diferenciran
Uspostavljanje lančanog pravila u svakom nadležnom slučaju
Grupiranje na jednoj strani jednakosti elemenata koji imaju dy / dx
Činjenica se koristi pomoću zajedničkog faktora
Rješava se dobivanjem traženog izraza
Vježba 2
Definirajte implicitni izraz koji definira dy / dx
Izražavanje derivata koje treba izvesti
Izvođenje implicitno prema lančanom pravilu
Faktoring zajedničkih elemenata
Grupiranje izraza dy / dx na jednoj strani jednakosti
Čest faktor diferencijalnog elementa
Izoliramo i dobijemo traženi izraz
Reference
- Izračun jedinstvene varijable. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. studenog 2008
- Teorem implicitnih funkcija: povijest, teorija i aplikacije. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. studenog. 2012
- Multivarijabilna analiza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. prosinca. 2010
- Dinamika sustava: modeliranje, simulacija i kontrola mehatronskih sustava. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. ožujka 2012
- Izračun: Matematika i modeliranje. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. siječnja 1999