ALGEBRIČNI DERIVATI ​​(S PRIMJERIMA) - MATEMATIKA - 2026

U algebarske derivati sastoje se od proučavanja derivat u slučaju algebarska funkcija. Podrijetlo pojma derivata potječe još iz drevne Grčke. Razvoj ovog pojma motiviran je potrebom da se riješe dva važna problema, jedan iz fizike, a drugi iz matematike.

U fizici, derivat rješava problem određivanja trenutačne brzine pokretnog predmeta. U matematici omogućuje vam da u danoj točki pronađete tangencijalnu liniju prema krivulji.

Iako je doista puno više problema koji se rješavaju korištenjem derivata, kao i njegovom generalizacijom, rezultati koji su došli nakon uvođenja njegovog koncepta.

Pioniri diferencijalnog proračuna su Newton i Leibniz. Prije nego što damo formalnu definiciju, mi ćemo razviti ideju koja stoji iza njega s matematičkog i fizičkog stajališta.

Derivat kao nagib tangencijalne crte do krivulje

Pretpostavimo da je graf funkcije y = f (x) kontinuirani graf (bez vrhova ili vrhova ili praznina), a neka je A = (a, f (a)) na njemu fiksna točka. Želimo pronaći jednadžbu tangente pravca prema grafu funkcije f u točki A.

Uzmimo bilo koju drugu točku P = (x, f (x)) na grafu, blizu točke A, i nacrtamo sekantnu liniju koja prolazi kroz A i P. Sekantna linija je linija koja graf krivulje siječe za jednu ili više bodova.

Da bismo dobili tangencijalnu liniju koju želimo, samo moramo izračunati nagib, jer već imamo točku na liniji: točka A.

Ako pomaknemo točku P duž grafa i približimo se bliži i točki A, prethodno spomenuta sekantna linija približit će se tangencijalnoj liniji koju želimo pronaći. Uzimajući granicu kada je "P teži A", obje će se linije podudarati, pa su i njihove kosine.

Nagib sekantne linije je dan sa

Reći da se P približava A ekvivalentno je reći da se "x" približava "a". Dakle, nagib tangencijalne crte na grafu f u točki A bit će jednak:

Gornji izraz označen je f '(a), a definiran je kao derivat funkcije f u točki "a". Stoga vidimo da je analitički derivat funkcije u točki granica, ali geometrijski je to nagib linije koja je tangenta na grafu funkcije u točki.

Sada ćemo promatrati taj pojam sa stajališta fizike. Doći ćemo do istog izraza prethodne granice, iako drugačijim putem, čime ćemo dobiti jednoglasnost definicije.

Derivat kao trenutna brzina pokretnog predmeta

Pogledajmo kratki primjer što trenutačna brzina znači. Kada se, primjerice, kaže da je automobil koji je došao do odredišta to učinio brzinom 100 km na sat, što znači da je za sat vremena prešao 100 km.

To ne znači nužno da je tijekom čitavog sata automobila uvijek bio 100 km, brzinomjer automobila mogao je u nekim trenucima označiti manje ili više. Ako ste se morali zaustaviti na semaforu, vaša je brzina tada bila 0 km. Međutim, nakon sat vremena, put je prešao 100 km.

To je ono što je poznato kao prosječna brzina, a dano je kvocijentom pređene udaljenosti i protečenim vremenom, kao što smo upravo vidjeli. S druge strane, trenutna brzina je ona koja označava iglu brzinomjera u određenom trenutku (vremenu).

Pogledajmo to sada općenitije. Pretpostavimo da se objekt pomiče duž crte i da je ovaj pomak predstavljen jednadžbom s = f (t), gdje varijabla t mjeri vrijeme, a varijabla s pomak, uzimajući u obzir njegov početak u trenutka t = 0, u koje vrijeme je i nula, to jest f (0) = 0.

Ova funkcija f (t) poznata je kao funkcija položaja.

Traži se izraz za trenutnu brzinu objekta u fiksnom trenutku "a". Ovom brzinom ćemo je označiti s V (a).

Neka t svaki tren bude blizu trenutka "a". U vremenskom intervalu između "a" i "t", promjena položaja objekta izražena je f (t) -f (a).

Prosječna brzina u ovom vremenskom intervalu je:

Što je aproksimacija trenutne brzine V (a). Ovo približenje će biti bolje, jer se t približava "a". Tako,

Imajte na umu da je ovaj izraz isti kao onaj dobiven u prethodnom slučaju, ali iz drugačije perspektive. Ovo je ono što je poznato kao izvedenica funkcije f u točki "a" i označena je f '(a), kao što je gore navedeno.

Imajte na umu da ako napravimo promjenu h = xa, imamo da kada "x" teži "a", "h" teži 0, a prethodna granica se transformira (na ekvivalentan način) u:

Oba su izraza jednaka, ali ponekad je bolje upotrijebiti jedan umjesto drugog, ovisno o slučaju.

Derivat funkcije f u bilo kojoj točki "x" koja pripada njezinoj domeni definira se tada na općenitiji način kao

Najčešća oznaka koja predstavlja derivat funkcije y = f (x) je ona koju smo upravo vidjeli (f 'ili y'). Međutim, druga široko korištena notacija je Leibnizova notacija koja je predstavljena kao bilo koji od sljedećih izraza:

Kako je derivat u osnovi ograničenje, može postojati ili ne mora postojati, jer ograničenja ne postoje uvijek. Ako postoji, za određenu točku se kaže da je dotična funkcija različita.

Algebarska funkcija

Algebarska funkcija je kombinacija polinoma dodavanjem, oduzimanjem, proizvodima, količnicima, silama i radikalima.

Polinom je izraz forme

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Gdje je n prirodan broj i sve to _ja, sa i = 0,1,…, n, su racionalni brojevi i _n ≠ 0. U ovom slučaju se kaže da je stupanj ovog polinoma n.

Slijede primjeri algebričnih funkcija:

Ovdje nisu uključene eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijske funkcije. Pravila izvoda koje ćemo vidjeti u nastavku vrijede za funkcije općenito, ali ograničit ćemo se i primijeniti ih u slučaju algebričnih funkcija.

Pravila zaobići

Derivat konstante

Navodi da je izvedenica konstante jednaka nuli. To jest, ako je f (x) = c, tada je f '(x) = 0. Na primjer, derivat konstantne funkcije 2 jednak je 0.

Derivat moći

Ako je f (x) = x ⁿ, tada je f '(x) = nx ^n-1. Na primjer, derivat x ³ je 3x ². Kao posljedica toga, dobivamo da je izvedenica funkcije identiteta f (x) = x f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Drugi primjer je sljedeći: neka je f (x) = 1 / x ², tada je f (x) = x ^-2 i f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3.

Ovo svojstvo je i korijen s obzirom da su korijeni racionalne moći i gore navedeno se također može primijeniti u tom slučaju. Na primjer, derivat kvadratnog korijena je dan sa

Derivat zbrajanja i oduzimanja

Ako su f i g različite varijabilne funkcije u x, tada je i zbroj f + g različit i zadovoljeno je da je (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Slično tome, imamo i to (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Drugim riječima, izvedenica zbroja (oduzimanje) je zbroj (ili oduzimanje) derivata.

Primjer

Ako je h (x) = x ² + x-1, tada

h '(x) = (x ²) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Izvedeno iz proizvoda

Ako su f i g diferencirane funkcije u x, tada je i proizvod fg različit u x i tačno je da

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Kao posljedica toga, slijedi da ako je c konstanta i f je diferencirajuća funkcija u x, tada je i cf različit u x i (cf) '(x) = cf' (X).

Primjer

Ako je f (x) = 3x (x ² +1), tada

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Derivat kvocijenta

Ako su f i g različiti na x i g (x) ≠ 0, tada je i f / g različit i na x, a točno je da

Primjer: ako je h (x) = x ³ / (x ² -5x), tada

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ².

Pravilo lanca

Ovo pravilo omogućuje dobivanje sastava funkcija. Navedite sljedeće: ako je y = f (u) različit na u, yu = g (x) je diferenciran na x, tada je kompozitna funkcija f (g (x)) različita na x, i istina je da je '= f '(g (x)) g' (x).

Odnosno, derivat složene funkcije je proizvod derivata vanjske funkcije (vanjska izvedenica) i derivata unutarnje funkcije (unutarnja izvedenica).

Primjer

Ako je f (x) = (x ⁴ -2x) ³, tada

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Postoje i rezultati za izračunavanje derivata inverzne funkcije, kao i generaliziranje na derivate višeg reda. Prijave su opsežne. Među njima se ističu njegova korisnost u problemima optimizacije te maksimalne i minimalne funkcije.

Reference

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferencijalno računanje. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Proračun 4000. Urednički zbornik.
3. Castaño, HF (2005). Matematika prije računanja. University of Medellin.
4. Eduardo, NA (2003). Uvod u računicu. Pragovi.
5. Fuentes, A. (2016). OSNOVNA MATH. Uvod u računicu. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE i Varberg, DE (2007). Proračun. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Diferencijalni račun (drugo izd.). Barquisimeto: Hipotenuza.
8. Thomas, GB, i Weir, MD (2006). Proračun: nekoliko varijabli. Pearson Education.