PRAVOKUTNE KOORDINATE: PRIMJERI I RIJEŠENE VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

U pravokutne koordinate ili Kartezijevog su one koje su dobivene na okomito izbočenim tri osi X Kartezijevog, Y, Z točka nalazi u tri - dimenzionalnom prostoru.

Kartezijanske osi su uzajamno orijentirane linije okomite jedna na drugu. U kartezijanskom koordinatnom sustavu svakoj je točki u prostoru dodijeljena tri realna broja koja su njegove pravokutne koordinate.

Slika 1. Pravokutne koordinate točke P (Vlastiti elaborat)

Ravnina je potprostor trodimenzionalnog prostora. U slučaju razmatranja točaka na ravnini, tada je dovoljno odabrati par okomitih osi X, Y kao kartezijanski sustav. Tada se svakoj točki na ravnini dodjeljuju dva realna broja koji su njegove pravokutne koordinate.

Podrijetlo pravokutnih koordinata

Pravokutne koordinate izvorno je predložio francuski matematičar René Descartes (1596. i 1650.), zbog čega se nazivaju kartezijanskim.

S ovom idejom Descartesa točkama ravnine i prostora dodjeljuju se brojevi, tako da geometrijske figure imaju pridružene algebarske jednadžbe, a klasične geometrijske teoreme mogu se dokazati algebraički. Kartezijanskim koordinatama rađa se analitička geometrija.

Kartezijanski avion

Ako su u ravnini odabrane dvije okomite linije koje se presijecaju u točki O; i ako je, uz to, svakom retku dodijeljen pravac i brojčana ljestvica između uzastopnih jednakih udaljenih točaka, tada postoji kartezijanski sustav ili ravnina u kojoj je svaka točka ravnine povezana s uređenim parom dvaju stvarnih brojeva koji su njihove projekcije na osi X i Y.

Točke A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) i D = (3, -3) predstavljeni su u kartezijanskoj ravnini kao što je prikazano u nastavku:

Slika 2. Točke u kartezijanskoj ravnini. (Vlastita obrada)

Imajte na umu da dvije osi X i Y dijele ravninu na četiri sektora koja se zovu kvadratni. Točka A je u prvom kvadrantu, točka B je u drugom kvadrantu, točka C je u trećem kvadrantu, a točka D je u četvrtom kvadrantu.

Udaljenost između dvije točke

Udaljenost između dviju točaka A i B na kartezijanskoj ravnini je duljina segmenta koji ih spaja. Ta se udaljenost može analitički izračunati na sljedeći način:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Gornja formula dobiva se primjenom pitagorejskog teorema.

Primjenjujući ovu formulu na točke A, B na slici 2, imamo:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

To jest, d (A, B) = 5,10 jedinica. Imajte na umu da je udaljenost dobivena bez potrebe za mjerenjem ravnalom, slijedio je potpuno algebrični postupak.

Analitički izraz crte

Pravokutne koordinate omogućuju analitički prikaz osnovnih geometrijskih objekata kao što su točka i linija. Dvije točke A i B definiraju jednu liniju. Nagib linije definiran je kao kvocijent između razlike Y koordinata točke B minus A, podijeljenih s razlikom X koordinata točke B minus A:

nagib = (By - Ay) / (Bx - Axe)

Svaka točka P koordinata (x, y) koja pripada liniji (AB) mora imati isti nagib:

nagib = (y - Ay) / (x - sjekira)

Jednadžba koja se dobiva jednakošću kosina je analitički ili algebrični prikaz pravca koji prolazi kroz točke A i B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Ako za A i B uzmemo pravokutne koordinate slike 2, imamo:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

U ovom konkretnom slučaju imamo liniju s negativnim nagibom -⅕, što znači da se smještanjem na točku na liniji i povećanjem x-koordinate za jednu jedinicu, y-koordinata smanjuje za 0,2 jedinice.

Najčešći način za pisanje jednadžbe pravca u ravnini je s koordinatom y koja je očišćena kao funkcija varijable x:

y = - (1/5) x + 13/5

Primjeri

Primjer 1

Analitičkim se metodama dobiva udaljenost između točaka C i A, koje su pravokutne koordinate C = (-2, -3) i točke A = (3,2).

Formula za euklidsku udaljenost između ove dvije točke piše ovako:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Zamjenom odgovarajućih pravokutnih koordinata imamo:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

Primjer 2

Dobijte jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku C koordinata (-2, -3) i točku P koordinata (2, 0).

Prvo, dobiva se nagib crte CP:

nagib = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Bilo koja točka Q općih pravokutnih koordinata (x, y) koja pripada liniji CP mora imati isti nagib:

nagib = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Drugim riječima, jednadžba retka CP je:

(y +3) / (x +2) = ¾

Alternativni način pisanja jednadžbe retka CP je rješavanje za y:

y = ¾ x - 3/2

Riješene vježbe

Vježba 1

Dobijte pravokutne koordinate točke sjecišta između linija y = - (1/5) x + 13/5 i linije y = ¾ x - 3/2.

Rješenje: Po definiciji, točke sjecišta dviju linija dijele iste pravokutne koordinate. Stoga su y-koordinate na točki sjecišta za obje linije identične:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

što dovodi do sljedećeg izraza:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

rješavajući zbroj frakcija koje dobivamo:

19/20 x = 41/10

Rješavanje za x:

x = 82/19 = 4,32

Za dobivanje y vrijednosti sjecišta, dobivena vrijednost x je supstituirana u bilo kojem od linija:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

To znači da se dane linije presijecaju u točki I koordinata I = (4.32, 1.74).

Vježba 2

Dobijte jednadžbu opsega koji prolazi kroz točku R pravokutnih koordinata (3, 4) i koja ima svoje središte na početku koordinata.

Rješenje: Polumjer R je udaljenost od točke R do početka koordinata O (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

To je, to je krug polumjera 5 usredotočen na (0,0).

Bilo koja točka P (x, y) na obodu mora imati istu udaljenost 5 od središta (0, 0) kako bi se moglo napisati:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

To znači:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Za uklanjanje četvrtastog korijena oba člana jednakosti se dobivaju na kvadrat, dobivajući:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Kolika je jednadžba opsega.

Ovaj primjer ilustrira snagu pravokutnog koordinatnog sustava koji omogućava određivanje geometrijskih objekata, poput obima, bez potrebe za korištenjem papira, olovke i kompasa. Traženi opseg određen je isključivo algebarskim metodama.

Reference

1. Arfken G i Weber H. (2012). Matematičke metode za fizičare. Opsežan vodič. 7. izdanje. Akademska štampa. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Izračun ccm. Riješeni problemi pravokutnih koordinata. Oporavak od: izračuna.cc
3. Weisstein, Eric W. "kartezijanske koordinate." S MathWorld-a Wolfram Weba. Oporavak od: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Kartezijanski koordinatni sustav. Oporavilo sa: en.wikipedia.com