- Što je konstanta proporcionalnosti i vrste
- Izravna razmjernost
- Obrnuta ili indirektna proporcionalnost
- Kako se izračunava?
- Prema svom grafu
- Prema tablici vrijednosti
- Prema analitičkom izrazu
- Izravnim ili složenim pravilom od tri
- Povijest
- Riješene vježbe
- Vježba 1
- Vježba 2
- Reference
Konstanta proporcionalnosti je relacijski numerički element koristi za definiranje uzorka sličnosti između 2 količinama koje su promijenjene istovremeno. Vrlo je uobičajeno prikazati ga linearnom funkcijom na generički način koristeći izraz F (X) = kX, no to nije jedini prikaz moguće proporcionalnosti.
Na primjer, odnos između X i Y u funkciji Y = 3x ima konstantu proporcionalnosti jednaku 3. Primjećuje se da kako neovisna varijabla X raste, tako raste i ovisna varijabla Y, tri puta veća od njene vrijednosti prethodna.
Promjene primijenjene na jednu varijablu imaju trenutne posljedice na drugu, tako da postoji vrijednost poznata kao konstanta proporcionalnosti. Ovo služi za povezivanje različitih veličina koje obje varijable stječu.
Što je konstanta proporcionalnosti i vrste
Prema trendu promjene varijabli, proporcije se mogu svrstati u 2 vrste.
Izravna razmjernost
Predlaže jednosmjerni odnos između dvije količine. U njoj će, ako neovisna varijabla pokaže neki rast, rasti i ovisna varijabla. Slično tome, svako smanjenje neovisne varijable uzrokovat će smanjenje veličine Y.
Na primjer, linearna funkcija koja se koristi u uvodu; Y = 3X, odgovara izravnom odnosu proporcionalnosti. To je zato što će povećanje neovisne varijable X uzrokovati trostruko povećanje prethodne vrijednosti uzete od zavisne varijable Y.
Slično tome, ovisna varijabla smanjit će se tri puta od svoje vrijednosti kada X padne magnitude.
Vrijednost konstante proporcionalnosti "K" u izravnom odnosu definirana je kao K = Y / X.
Obrnuta ili indirektna proporcionalnost
U ovoj vrsti funkcija, odnos varijabli predstavljen je antonimnim načinom, pri čemu rast ili smanjenje neovisne varijable odgovara smanjenju ili rastu ovisne varijable.
Na primjer, funkcija F (x) = k / x je obrnut ili neizravan odnos. Budući da se vrijednost neovisne varijable počinje povećavati, vrijednost k će se podijeliti s povećanjem broja, uzrokujući da se ovisna varijabla smanji vrijednost prema omjeru.
Prema vrijednosti koju je uzeo K, može se definirati trend obrnute proporcionalne funkcije. Ako je k> 0, funkcija će se smanjivati na svim stvarnim brojevima. A vaš će se grafikon nalaziti u 1. i 3. kvadrantu.
Naprotiv, ako je vrijednost K negativna ili manja od nule, funkcija će se povećavati i njezin će se graf naći u 2. i 4. kvadrantu.
Kako se izračunava?
Postoje različiti konteksti u kojima se može zahtijevati definicija konstante proporcionalnosti. U različitim će se slučajevima prikazati različiti podaci o problemu, gdje će njihovo proučavanje konačno dati vrijednost K.
Na generički način, gore navedeno se može rekapitulirati. Vrijednosti K odgovaraju dva izraza, ovisno o vrsti prisutne proporcionalnosti:
- Izravno: K = Y / X
- obrnuto ili indirektno: K = YX
Prema svom grafu
Ponekad će graf funkcije biti samo djelomično ili potpuno poznat. U tim će slučajevima biti potrebno pomoću grafičke analize odrediti vrstu proporcionalnosti. Tada će biti potrebno definirati koordinatu koja omogućuje provjeru vrijednosti X i Y primijeniti na odgovarajuću formulu K.
Grafovi koji se odnose na izravne proporcije su linearni. S druge strane, grafovi obrnutih proporcionalnih funkcija obično poprimaju oblik hiperbola.
Prema tablici vrijednosti
U nekim slučajevima postoji tablica vrijednosti s vrijednostima koja odgovaraju svakoj ponavljanju nezavisne varijable. Obično to uključuje izradu grafa uz definiranje vrijednosti K.
Prema analitičkom izrazu
Vraća izraz koji analitički definira funkciju. Vrijednost K može se riješiti izravno ili se može zaključiti i iz samog izraza.
Izravnim ili složenim pravilom od tri
U ostalim modelima vježbanja prikazani su određeni podaci koji se odnose na odnos vrijednosti. Zbog toga je potrebno primijeniti izravno ili složeno pravilo tri za definiranje ostalih podataka potrebnih u vježbi.
Povijest
Koncept proporcionalnosti je oduvijek postojao. Ne samo u umu i u radu velikih matematičara, već i u svakodnevnom životu stanovništva, zbog svoje praktičnosti i primjenjivosti.
Vrlo je često pronaći situacije koje zahtijevaju proporcionalni pristup. Oni su prikazani za svaki slučaj kad je potrebno usporediti varijable i pojave koje imaju određene veze.
Kroz vremensku traku možemo okarakterizirati povijesne trenutke u kojima je primijenjen matematički napredak u pogledu proporcionalnosti.
- 2. stoljeće prije Krista Sustav skladištenja frakcija i proporcija prihvaćen je u Grčkoj.
- U petom stoljeću prije Krista Omjer koji povezuje stranu i dijagonalu kvadrata također je otkriven u Grčkoj.
- 600. godine prije Krista Thales iz Mileta predstavlja svoj teorem o proporcionalnosti.
- Godina 900. decimalni sustav koji je Indija prethodno koristila proširuje se u omjerima i proporcijama. Doprinos Arapa.
- XVII stoljeće. Doprinosi u odnosu na proporcije stižu u Eulerovim izračunom.
- XIX stoljeće. Gauss doprinosi konceptu složenog broja i omjera.
- Dvadeseto stoljeće. Proporcionalnost kao funkcijski model definiraju Azcarate i Deulofeo.
Riješene vježbe
Vježba 1
Potrebno je izračunati vrijednost varijabli x, y, z i g. Poznavajući sljedeće proporcionalne odnose:
3x + 2y - 6z + 8g = 1925
x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5
Nastavljamo definirati relativne vrijednosti konstante proporcionalnosti. One se mogu dobiti iz drugog odnosa, gdje vrijednost koja dijeli svaku varijablu označava odnos ili omjer koji se odnosi na K.
X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k
Vrijednosti su zamijenjene u prvom izrazu, gdje će se novi sustav ocjenjivati u jednoj varijabli k.
3 (3k) + 2 (2k) - 6 (3k) + 8 (5k) = 1925
9k + 4k -18k + 40k = 1925
35k = 1925
K = 1925/35 = 55
Pomoću ove vrijednosti konstante proporcionalnosti možemo pronaći broj koji definira svaku od varijabli.
x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110
z = 3 (55) = 165 g = 5 (55) = 275
Vježba 2
Izračunajte konstantu proporcionalnosti i izraz koji određuje funkciju, s obzirom na njen graf.
Prvo, graf se analizira, vidljiv je njegov linearni karakter. To ukazuje da je to funkcija s izravnom proporcionalnošću i da će se vrijednost K dobiti pomoću izraza k = y / x
Tada se na grafu bira odredljiva točka, to jest ona gdje se točno mogu vidjeti koordinate koje to čine.
U tom slučaju se uzima točka (2, 4). Odakle možemo uspostaviti sljedeći odnos.
K = 4/2 = 2
Dakle, izraz je definiran funkcijom y = kx, koja će za ovaj slučaj biti
F (x) = 2x
Reference
- Matematika za elektriku i elektroniku. Dr. Arthur Kramer. Cengage Learning, 27. srpnja 2012
- Vizija 2020: strateška uloga operativnog istraživanja. N. Ravichandran. Saveznički izdavači, 11. rujna 2005
- Gramatičko i aritmetičko znanje administrativnog pomoćnika državne e-knjige. MAD-Eduforma
- Pojačanje matematike za podršku i diverzifikaciju kurikuluma: za podršku i diverzifikaciju kurikuluma. Mª Lourdes Lázaro Soto. Narcea Ediciones, 29. kolovoza. 2003
- Logistika i komercijalno upravljanje. Maria José Escudero Serrano. Ediciones Paraninfo, SA, 1. sep. 2013