PRAVOKUTNE KOMPONENTE VEKTORA (S VJEŽBAMA) - MATEMATIKA - 2024

U pravokutnih komponenti vektora su podaci koji čine taj vektor. Da bismo ih odredili, potrebno je imati koordinatni sustav, koji je općenito kartezijanska ravnina.

Kada imate vektor u koordinatnom sustavu, možete izračunati njegove komponente. To su 2, vodoravna komponenta (paralelna s osi X), koja se naziva "komponenta osi X", i vertikalna komponenta (paralelna s osi Y), koja se naziva "komponenta osi Y".

Grafički prikaz pravokutnih komponenti vektora

Za određivanje komponenti potrebno je znati određene podatke vektora kao što su njegova veličina i kut koji tvori s X osi.

Kako odrediti pravokutne komponente vektora?

Da bi se odredile ove komponente, moraju se znati određeni odnosi između pravih trokuta i trigonometrijskih funkcija.

Na sljedećoj slici možete vidjeti ovaj odnos.

Odnosi između pravih trokuta i trigonometrijskih funkcija

Sine nekog kuta jednak je kvocijentu između mjere noge suprotne kutu i mjere hipotenuze.

S druge strane, kosinus kuta jednak je kvocijentu između mjere noge koja je susjedna kutu i mjere hipotenuze.

Tangenta kuta jednaka je kvocijentu između mjere suprotne noge i mjere susjedne noge.

U svim tim odnosima potrebno je uspostaviti odgovarajući pravi trokut.

Postoje li druge metode?

Da. Ovisno o podacima koji se daju, način izračunavanja pravokutnih komponenti vektora može varirati. Drugi široko korišteni alat je pitagorejska teorema.

vježbe

Sljedeće vježbe u praksi primjenjuju definiciju pravokutnih komponenti vektora i odnose opisane gore.

Prva vježba

Poznato je da vektor A ima magnitudu jednaku 12, a kut koji čini s osi X ima mjeru 30 °. Odredite pravokutne komponente navedenog vektora A.

Riješenje

Ako se slika cijeni i koriste se gore opisane formule, može se zaključiti da je komponenta u osi Y vektora A jednaka

sin (30 °) = Vy / 12, i stoga je Vy = 12 * (1/2) = 6.

S druge strane, imamo da je komponenta na X osi vektora A jednaka

cos (30 °) = Vx / 12, i stoga je Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Druga vježba

Ako vektor A ima magnitudu jednaku 5, a komponenta na osi x jednaka je 4, odredite vrijednost komponente A na osi y.

Riješenje

Koristeći pitagorovski teorem, imamo da je veličina vektora A kvadrat jednaka zbroju kvadrata dviju pravokutnih komponenti. To jest, M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Zamjenom zadanih vrijednosti morate

5² = (4) ² + (Vy) ², dakle, 25 = 16 + (Vy) ².

Iz toga se podrazumijeva da je (Vy) ² = 9 i prema tome Vy = 3.

Treća vježba

Ako vektor A ima magnitudu jednaku 4, a čini kut od 45 ° sa osi X, odredite pravokutne komponente tog vektora.

Riješenje

Pomoću odnosa pravog trokuta i trigonometrijskih funkcija može se zaključiti da je komponenta na osi Y vektora A jednaka

sin (45 °) = Vy / 4, i stoga je Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

S druge strane, imamo da je komponenta na X osi vektora A jednaka

cos (45 °) = Vx / 4, i stoga je Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Reference

1. Landaverde, FD (1997). Geometrija (Reprint ed.). Napredak.
2. Leake, D. (2006). Trokut (ilustrirano izd.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., I Barrantes, H. (2006). Geometrije. Tehnologija CR.
5. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrija i analitička geometrija. Pearson Education.