IZRAČUNAVANJE APROKSIMACIJA POMOĆU DIFERENCIJALA - MATEMATIKA - 2026

Približna matematika je broj koji nije točna vrijednost nečega, ali je toliko blizu da se smatra korisnim koliko i tačna vrijednost.

Kad se rade matematičke aproksimacije, to je zbog toga što je ručno teško (ili ponekad nemoguće) znati preciznu vrijednost onoga što želite.

Glavni alat pri radu s aproksimacijama je razlika funkcije.

Diferencijal funkcije f, označen sa Δf (x), nije ništa drugo do izvedenica funkcije f koja je promjena promjene neovisne varijable, tj. Δf (x) = f '(x) * Δx.

Ponekad se umjesto Δf i Δx koriste df i dx.

Aproksimacije pomoću diferencijala

Formula koja se primjenjuje za izvođenje aproksimacije preko diferencijala proizlazi upravo iz definicije derivata funkcije kao granice.

Formulu daje:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Ovdje se podrazumijeva da je Δx = x-x0, dakle x = x0 + Δx. Pomoću ove formule može se prepisati kao

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Treba napomenuti da "x0" nije proizvoljna vrijednost, već je vrijednost takva da je f (x0) lako poznat; štoviše, "f (x)" je samo vrijednost koju želimo približiti.

Postoje li bolje aproksimacije?

Odgovor je da. Navedeno je najjednostavnija od aproksimacija nazvanih "linearna aproksimacija".

Za bolju aproksimaciju kvalitete (napravljena pogreška je manja) koriste se polinomi s više derivata koji se nazivaju "Taylor-polinomi", kao i druge numeričke metode poput Newton-Raphsonove metode.

Strategija

Strategija koja slijedi je:

- Odaberite prikladnu funkciju f za izvođenje aproksimacije i vrijednost «x», tako da je f (x), vrijednost koja će se aproksimirati.

- Odaberite vrijednost "x0", koja je blizu "x", tako da je f (x0) lako izračunati.

- Izračunajte Δx = x-x0.

- Izračunajte izvedenicu funkcije y f '(x0).

- Zamijenite podatke u formuli.

Riješene vježbe aproksimacije

U nastavku se nalazi niz vježbi u kojima se vrše aproksimacije pomoću diferencijala.

Prva vježba

Otprilike √3.

Riješenje

Slijedom strategije mora se odabrati odgovarajuća funkcija. U ovom se slučaju može vidjeti da odabrana funkcija mora biti f (x) = √x, a vrijednost koja se treba približiti je f (3) = √3.

Sada moramo odabrati vrijednost "x0" blizu "3", tako da je f (x0) lako izračunati. Ako je odabrano "x0 = 2", tada je "x0" blizu "3", ali f (x0) = f (2) = √2 nije lako izračunati.

Prikladna vrijednost "x0" je "4", budući da je "4" blizu "3" i također f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Ako su "x = 3" i "x0 = 4", tada su Δx = 3-4 = -1. Sada nastavljamo s izračunavanjem derivata f. To jest, f '(x) = 1/2 * √x, pa je f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Zamjena svih vrijednosti u dobivenoj formuli:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Ako koristite kalkulator, dobit ćete √3≈1.73205… To pokazuje da je prethodni rezultat dobra aproksimacija stvarne vrijednosti.

Druga vježba

Otprilike √10.

Riješenje

Kao i prije, f (x) = √xy je odabran kao funkcija, u ovom slučaju x = 10.

Vrijednost x0 za odabir ovog vremena je "x0 = 9". Zatim imamo da je Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 i f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Pri ocjenjivanju u formuli dobiva se da

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…

Pomoću kalkulatora dobije se da je √10 ≈ 3.1622776… Ovdje se također može vidjeti da je prije dobivena dobra aproksimacija.

Treća vježba

Otprilike √10, gdje ³√ označava korijen kocke.

Riješenje

Jasno da je funkcija koja će se koristiti u ovoj vježbi f (x) = ³√x, a vrijednost "x" mora biti "10".

Vrijednost blizu "10" takva da je poznat njen korijen kocke je "x0 = 8". Tada imamo Δx = 10-8 = 2 i f (x0) = f (8) = 2. Također imamo f '(x) = 1/3 * ³√x², a posljedično i f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Zamjenom podataka u formuli dobiva se da:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Kalkulator kaže da je √1010 ≈ 2.15443469… Dakle, pronađena aproksimacija je dobra.

Četvrta vježba

Približni ln (1.3), gdje "ln" označava funkciju prirodnog logaritma.

Riješenje

Prvo odaberemo kao funkciju f (x) = ln (x), a vrijednost "x" je 1,3. Sada, znajući malo o funkciji logaritma, možemo znati da je ln (1) = 0, a nadalje, "1" je blizu "1.3". Stoga je odabran "x0 = 1" i tako je Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

S druge strane f '(x) = 1 / x, tako da je f' (1) = 1. Kada ocjenjujemo u datoj formuli imamo:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Pomoću kalkulatora imamo taj ln (1.3) ≈ 0.262364… Dakle, napravljena aproksimacija je dobra.

Reference

1. Fleming, W., i Varberg, DE (1989). Prekalkulusna matematika. Dvorana Prentice.
2. Fleming, W., i Varberg, DE (1989). Prekalkul matematika: pristup rješavanju problema (2, Ilustrirano ur.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Prekalkulus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Ravna analitička geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., i Rigdon, SE (2007). Račun (Deveto izdanje). Dvorana Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Diferencijalni račun s ranim transcendentnim funkcijama za znanost i inženjerstvo (drugo izdanje, ed.). Hipotenuza.
9. Scott, Kalifornija (2009). Kartezijanska ravnina geometrija, dio: Analitički koniki (1907) (reprint ed.). Izvor munje.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.