KONJUGIRAJTE BINOM: KAKO TO RIJEŠITI, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Konjugata binomna drugog binomna je ona u kojoj se razlikuju samo znak operacije. Binom, kao što mu ime govori, je algebarska struktura koja se sastoji od dva pojma.

Neki primjeri binoma su: (a + b), (3m - n) i (5x - y). A njihovi konjugirani binomi su: (a - b), (-3m - n) i (5x + y). Kao što se odmah vidi, razlika je u znaku.

Slika 1. Binom i njegov konjugirani binom. Imaju iste izraze, ali se razlikuju po znaku. Izvor: F. Zapata.

Binom, pomnožen sa svojim spajanjem, rezultira izvanrednim proizvodom koji se široko koristi u algebri i znanosti. Rezultat množenja je oduzimanje kvadrata pojmova izvornog binoma.

Na primjer, (x - y) je binom, a njegov konjugat je (x + y). Dakle, proizvod dvaju binomića je razlika kvadrata pojmova:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Kako riješite konjugirani binom?

Navedeno pravilo konjugiranih binoma je sljedeće:

Kao primjer primjene, započet ćemo demonstracijom prethodnog rezultata, što se može učiniti korištenjem distributivnog svojstva proizvoda s obzirom na algebrični zbroj.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Gornje množenje dobiveno je slijedeći ove korake:

- Prvi pojam prvog binoma pomnožava se s prvim izrazom drugog

- Onda prvo prvo, za drugo drugo

- Onda drugi od prvog prema prvom od drugog

- Konačno drugo od prvoga drugo od drugoga.

Sada napravimo malu promjenu koristeći komutativno svojstvo: yx = xy. To izgleda ovako:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Kako su dva jednaka izraza, ali suprotnog znaka (istaknuta bojom i podvučena), poništavaju se i pojednostavljeno:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Konačno, primjenjuje se da je množenje broja po sebi ekvivalentno povećanju na kvadrat, tako da je xx = x ^2, a također yy = y ².

Na ovaj je način pokazano ono što je naznačeno u prethodnom odjeljku da je zbroj i razlika razlika kvadrata:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Slika 2. Zbroj puta koji iznosi njegova razlika je razlika kvadrata. Izvor: F. Zapata.

Primjeri

- Konjugirani binomi različitih izraza

Primjer 1

Pronađite konjugat (y ² - 3y).

Odgovor: (y ² + 3y)

Primjer 2

Dobivanje produkta (y ² - 3y) i njegovog konjugata.

Odgovor: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ²) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Primjer 3

Razvijte proizvod (1 + 2a). (2a -1).

Odgovor: prethodni izraz je ekvivalentan (2a + 1). (2a -1), to jest, odgovara proizvodu binoma i njegovom konjugatu.

Poznato je da je produkt binomijala po njegovom konjugiranom binomu jednak razlici kvadrata pojmova binoma:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Primjer 4

Upišite proizvod (x + y + z) (x - y - z) kao razliku kvadrata.

Odgovor: Navedene trinomile možemo asimilirati u konjugirani binomni oblik, pažljivim korištenjem zagrada i uglatih zagrada:

(x + y + z) (x - y - z) =

Na taj se način može primijeniti razlika kvadrata:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Primjer 5

Izrazite proizvod (m ² - m -1). (M ² + m -1) kao razliku kvadrata.

Odgovor: prethodni izraz je proizvod dva trinomila. Prvo ga treba navesti kao produkt dvaju konjugiranih binoma:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Primjenjujemo činjenicu da je produkt binoma na njegov konjugat kvadratna razlika njegovih pojmova, kao što je objašnjeno:, = (m ² -1) ² - m ²

vježbe

Kao i uvijek, započinjete s najjednostavnijim vježbama, a zatim povećavate razinu složenosti.

- Vježba 1

Napišite (od 9 do ²) kao proizvod.

Riješenje

Prvo prepisujemo izraz kao razliku kvadrata, kako bismo primijenili ono što je ranije objašnjeno. Tako:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²)

Dalje uzimamo u obzir faktor, koji je ekvivalentan pisanju ove razlike u kvadratima kao proizvoda, kao što se traži u izjavi:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²) = (3 + a) (3 -a)

- Vježba 2

Faktor 16x ² - 9y ⁴.

Riješenje

Faktoring izraza znači pisati ga kao proizvod. U ovom slučaju izraz treba prethodno napisati da bi se dobila razlika u kvadratima.

To nije teško učiniti, jer pažljivo gledajući, svi su čimbenici savršeni kvadrati. Na primjer, 16 je kvadrat 4, 9 je kvadrat 3, a ⁴ je kvadrat y ² i x ² je kvadrat x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ²) ²

Zatim primjenjujemo ono što već znamo ranije: da je razlika kvadrata proizvod konjugiranih binoma:

(4x) ² - (3 i ²) ² = (4x - 3 i ²). (4x + 3 i ²)

- Vježba 3

Zapišite (a - b) kao produkt binoma

Riješenje

Gornju razliku treba zapisati kao razlike kvadrata

(√a) ² - (√b) ²

Tada se primjenjuje da je razlika kvadrata produkt konjugiranih binoma

(√a - √b) (√a + √b)

- Vježba 4

Jedna od primjena konjugiranog binoma je racionalizacija algebričnih izraza. Ovaj se postupak sastoji od uklanjanja korijena nazivnika frakcijskog izraza, što u mnogim slučajevima olakšava operacije. Zahtijeva se upotreba konjugata binomija za racionaliziranje sljedećeg izraza:

√ (2-x) /

Riješenje

Prvo je identificirati konjugirani binom nazivnika:.

Sada množimo brojnik i nazivnik izvornog izraza s konjugiranim binomom:

√ (2-x) / {.}

U nazivniku prethodnog izraza prepoznajemo produkt razlike prema zbroju, za koji već znamo da odgovara kvadraturi binomi:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Pojednostavljenje nazivnika je:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Sada se bavimo brojčanikom, na što ćemo primijeniti distribucijsko svojstvo proizvoda s obzirom na zbroj:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

U prethodnom izrazu prepoznajemo produkt binoma (2-x) po njegovom konjugatu, što je zapaženi proizvod jednak razlici kvadrata. Na ovaj način se konačno dobiva racionalizirani i pojednostavljeni izraz:

/ (1 - x)

- Vježba 5

Razvijajte sljedeći proizvod koristeći svojstva konjugiranog binoma:

Riješenje

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ^(6y) - 9a ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

Pažljivi čitatelj primijetit će uobičajeni faktor koji se istaknuo bojom.

Reference

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Urednička kulturna Venezolana SA
2. González J. Konjugirane binomne vježbe. Oporavak od: academia.edu.
3. Učitelj matematike Alex. Izvanredni proizvodi. Oporavilo s youtube.com.
4. Math2me. Konjugirani binomi / značajni proizvodi. Oporavilo s youtube.com.
5. Konjugirani binomni proizvodi. Oporavak od: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Konjugirani binomi. Oporavilo od: youtube.com.