ORTONORMALNA OSNOVA: SVOJSTVA, PRIMJERI I VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

Orthonormal osnova formira s vektorima međusobno okomite, a čija je modul (1 jedinica vektori). Sjetimo se da je baza B u vektorskom prostoru V definirana kao skup linearno neovisnih vektora koji mogu generirati navedeni prostor.

Zauzvrat, vektorski prostor je apstraktna matematička cjelina među čijim su elementima vektori, uglavnom povezani s fizičkim veličinama poput brzine, sile i pomaka ili također s matricama, polinomima i funkcijama.

Slika 1. Ortonormalna baza u ravnini. Izvor: Wikimedia Commons. Quartl.

Vektori imaju tri karakteristična elementa: veličinu ili modul, smjer i smisao. Ortonormalna osnova je posebno korisna za predstavljanje i rad s njima, jer se svaki vektor koji pripada određenom vektorskom prostoru V može zapisati kao linearna kombinacija vektora koji tvore ortonormalnu osnovu.

Na taj se način analitički izvršavaju operacije između vektora, kao što su zbrajanje, oduzimanje i različite vrste proizvoda definiranih u navedenom prostoru.

Među najkorištenijim bazama u fizici je baza koju čine jedinični vektori i, j i k koji predstavljaju tri različita smjera trodimenzionalnog prostora: visina, širina i dubina. Ti su vektori poznati i kao kanonski vektori.

Ako se umjesto toga vektori rade u ravnini, dvije bi od ove tri komponente bile dovoljne, dok je za jednodimenzionalne vektore potrebna samo jedna.

Svojstva baza

1- Baza B je najmanji mogući skup vektora koji generiraju vektorski prostor V.

2- Elementi B su linearno neovisni.

3- Bilo koja baza B vektorskog prostora V, omogućava da se izraze svi vektori V kao linearna kombinacija istog i ovaj je oblik jedinstven za svaki vektor. Iz tog je razloga B poznat i kao sustav generiranja.

4- Isti vektorski prostor V može imati različite baze.

Primjeri baza

Evo nekoliko primjera ortonormalnih baza i baza općenito:

Kanonska osnova u ℜ

Također se naziva i prirodna baza ili standardna baza ℜ ⁿ, gdje je n ⁿ n-dimenzionalni prostor, na primjer trodimenzionalni prostor je ℜ ³. Vrijednost n naziva se dimenzijom vektorskog prostora i označava se kao dim (V).

Svi vektori koji pripadaju ℜ ⁿ predstavljeni su uređenim n-oglasima. Za prostor ℜ ⁿ, kanonska osnova je:

e ₁ = <1,0,.,,, 0>; e ₂ = <0,1,.,,, 0>; …….. e _n = <0,0,.,,, 1>

U ovom smo primjeru oznaku koristili zagradama ili "zagradama" i podebljali za vektore e ₁, e ₂, e ₃…

Kanonska osnova u ℜ

Poznati vektori i, j i k priznaju to isto prikazivanje i sva tri su dovoljna da predstavljaju vektore u ℜ ³:

i = <1,0,0>; j = <0,1, 0; k = <0,0,1>

To znači da se baza može izraziti ovako:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Da bi se potvrdilo da su linearno neovisne, odrednica formirana s njima nije jednaka nuli i jednaka je 1:

Također mora biti moguće zapisati bilo koji vektor koji pripada ℜ ³ kao linearnu kombinaciju istih. Na primjer, sila čija je pravokutna komponenta F _x = 4 N, F _y = -7 N i F _z = 0 N zapisala bi se u vektorskom obliku poput ovog:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Stoga i, j i k čine sustav generatora od ℜ ³.

Ostale ortonormalne baze u ℜ

Standardna baza opisana u prethodnom odjeljku nije jedina ortonormalna baza u ℜ ³. Evo za primjer imamo osnove:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ -{<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Može se pokazati da su ove osnove ortonormalne, jer pamtimo uvjete koje moraju ispuniti:

-Vektori koji čine bazu moraju biti međusobno pravokutni.

-Svako od njih mora biti jedinstveno.

To možemo potvrditi znajući da odrednica koju oni formiraju mora biti jednaka nuli i jednaka 1.

Baza B ₁ je upravo ona cilindričnih koordinata ρ, φ i z, još jedan način izražavanja vektora u prostoru.

Slika 2. Cilindrične koordinate. Izvor: Wikimedia Commons. Matematika

Riješene vježbe

- Vježba 1

Pokažite da je baza B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} je ortonormalno.

Riješenje

Kako bismo pokazali da su vektori okomiti jedan na drugi, upotrijebit ćemo skalarni proizvod, koji se naziva i unutarnji ili točkasti produkt dva vektora.

Neka bilo koja dva vektora u i v, njihov točki produkt je definiran sa:

u • v = uv cosθ

Da bismo razlikovali vektore njihovih modula, za prvo ćemo koristiti podebljana slova, a za druga normalna slova. θ je kut između u i v, pa ako su okomite, to znači da je θ = 90º, a skalarni proizvod jednak nuli.

Alternativno, ako su dani vektori s obzirom na njihove komponente: u =x, u _y, u _z > y v =x, v _y, v _z >, skalarni proizvod oba, koji je komutativan, izračunava se na ovaj način:

u • v = u _x.v _x + u _y.v _y + u _z.v _z

Na ovaj način, skalarni proizvodi između svakog para vektora su:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

Za drugi uvjet izračunava se modul svakog vektora koji se dobiva:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ²)

Dakle, moduli svakog vektora su:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Stoga su sva tri vektora. Konačno, odrednica koju formiraju nije jednaka nuli i jednaka je 1:

- Vježba 2

Napiši koordinate vektora w = <2, 3,1> u odnosu na bazu iznad.

Riješenje

Da bi se to postiglo, koristi se sljedeća teorema:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

To znači da vektor možemo napisati u bazu B, koristeći koeficijente < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, za koje moramo izračunati naznačene skalarne proizvode:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

S dobivenim skalarnim proizvodima konstruira se matrica koja se naziva w koordinatna matrica.

Stoga su koordinate vektora w u bazi B izražene sa:

_B =

Koordinatna matrica nije vektor jer vektor nije isti kao njegove koordinate. Ovo su samo skupovi brojeva koji služe za izražavanje vektora u datoj bazi, a ne vektor kao takav. Oni također ovise o odabranoj bazi.

Na kraju, slijedeći teoremu, vektor w bi se izrazio kako slijedi:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Sa: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, to jest vektori baze B.

Reference

1. Larson, R. Temelji linearne algebre. 6.. Izdanje. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Izračun. 7.. Izdanje. Svezak 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Linearna algebra. Jedinica 10. Ortonormalne baze. Oporavak od: ocw.uc3m.es.
4. Sveučilište Sevilla. Cilindrične koordinate. Vektorska baza. Oporavak od: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Ortonormalna baza. Oporavak od: es.wikipedia.org.