ZADANA I VIŠAK APROKSIMACIJE: ŠTO JE I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Donja i iznad aproksimacije su numerička metoda koja se koristi za utvrđivanje vrijednosti broja prema različitim mjerilima točnosti. Na primjer, broj 235.623 prema zadanim postavkama približava se 235.6 i premašuje 235.7. Ako desetinu smatramo granicom pogreške.

Približavanje se sastoji od zamjene točnog broja s drugim, pri čemu bi navedena zamjena trebala olakšati rad matematičkog problema, čuvajući strukturu i suštinu problema.

Izvor: Pexels.

A ≈B

Čita se; Približno B. Gdje "A" predstavlja točnu vrijednost, a "B" približnu vrijednost.

Značajni brojevi

Vrijednosti s kojima je definiran približni broj poznate su kao značajne brojke. U aproksimaciji primjera uzete su četiri značajne brojke. Preciznost broja izražena je brojem značajnih brojeva koji je definiraju.

Beskonačne nule koje se mogu nalaziti i s desne i s lijeve strane broja ne smatraju se značajnim brojkama. Lokacija zareza ne igra nikakvu ulogu u definiranju značajnih brojki broja.

750385,,,, 00,0075038500.,,, 75,038500000.,,,, 750.385.000.,,,, ,,,,, 000007503850000.,,,,

Od čega se sastoji?

Metoda je prilično jednostavna; odaberite ograničenu pogrešku, koja nije ništa drugo nego numerički raspon u kojem želite izvršiti rez. Vrijednost ovog raspona izravno je proporcionalna granici pogreške približnog broja.

U gornjem primjeru 235.623 posjeduje tisuće (623). Tada je napravljeno približavanje desetinama. Višak vrijednosti (235.7) odgovara najznačajnijoj vrijednosti u desetinkama odmah nakon prvobitnog broja.

S druge strane, zadana vrijednost (235,6) odgovara najbližoj i najznačajnijoj vrijednosti u desetinama koja je ispred izvornog broja.

Numerička aproksimacija je prilično česta u praksi s brojevima. Ostale široko korištene metode su zaokruživanje i skraćivanje; koji odgovaraju različitim kriterijima za dodjeljivanje vrijednosti.

Granica pogreške

Kada definiramo numerički raspon koji će broj obuhvatiti nakon približavanja, definiramo i granicu pogreške koja prati sliku. To će biti označeno postojećim ili značajnim racionalnim brojem u dodijeljenom rasponu.

U početnom primjeru vrijednosti definirane viškom (235.7) i zadanom (235.6) imaju približnu pogrešku od 0,1. U statističkim studijama i vjerojatnostima se rade 2 vrste pogrešaka s obzirom na brojčanu vrijednost; apsolutna i relativna pogreška.

vaga

Kriteriji za utvrđivanje raspona aproksimacije mogu biti vrlo promjenjivi i usko su povezani sa specifikacijama elementa koje treba aproksimirati. U zemljama s visokom inflacijom, višak aproksimacija zanemaruje neke numeričke raspone, jer su ona niža od inflacijske ljestvice.

Na taj način, u inflaciji većoj od 100%, prodavač neće prilagoditi proizvod od 50 do 55 dolara, već će ga približiti na 100 dolara, zanemarujući jedinice i desetke izravno približavajući stotinu.

Korištenje kalkulatora

Konvencionalni kalkulatori sa sobom donose FIX mod u kojem korisnik može u svojim rezultatima konfigurirati broj decimalnih mjesta koje želi primiti. To stvara pogreške koje se moraju uzeti u obzir prilikom izrade točnih izračuna.

Iracionalna aproksimacija brojeva

Neke vrijednosti koje se široko koriste u numeričkim operacijama pripadaju skupu iracionalnih brojeva, čija je glavna karakteristika imati neodređeni broj decimalnih mjesta.

izvor: Pexels.

Vrijednosti poput:

• π = 3.141592654….
• e = 2.718281828…
• =2 = 1.414213562…

Uobičajeni su za eksperimentiranje i njihove vrijednosti moraju se definirati u određenom rasponu, uzimajući u obzir moguće generirane pogreške.

Za što su oni?

U slučaju podjele (1 ÷ 3), promatra se eksperimentiranjem, potreba za uspostavljanjem smanjenja broja izvedenih operacija radi definiranja broja.

1 ÷ 3 = 0,333333.,,,,, 1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333.,,,, / 10000.,,,, = 0,333333.,,,, Predstavljena je operacija koja se može ponavljati na neodređeno vrijeme, pa je potrebno aproksimirati u nekom trenutku.

U slučaju:

1 ÷ 3 333333.,,,, / 10000.,,,, = 0,333333.,,,, Za bilo koju točku uspostavljenu kao granicu pogreške, dobit će se broj manji od točne vrijednosti (1 ÷ 3). Na taj su način sve prethodno izvršene aproksimacije zadane aproksimacije od (1 ÷ 3).

Primjeri

Primjer 1

1. Koji je od sljedećih brojeva zadana aproksimacija 0,0127

• 0.13
• 0,012; To je zadana aproksimacija 0,0127
• 0,01; To je zadana aproksimacija 0,0127
• 0.0128

Primjer 2

1. Koji je od sljedećih brojeva višak aproksimacije od 23,435

• 24; aproksimacija je višak od 23.435
• 23.4
• 23.44; aproksimacija je višak od 23.435
• 23,5; aproksimacija je višak od 23.435

Primjer 3

1. Definirajte sljedeće brojeve pomoću zadane aproksimacije, s određenom pogreškom.

• 547.2648…. Tisuće, stotine i desetine.

Tisuće: Tisuće odgovaraju prvoj 3 znamenke nakon zareza, gdje nakon 999. dolazi jedinica. Nastavljamo s približavanjem 547.264.

Stotine: Označene s prve dvije znamenke nakon zareza, stotinke se moraju sastati, 99 da bi dostigle jedinstvo. Na taj se način prema zadanom približava 547,26.

Desetke: U ovom je slučaju vezana pogreška mnogo veća, jer je raspon aproksimacije definiran unutar cijelih brojeva. Kada u desetiku zadate približne vrijednosti, dobit ćete 540.

Primjer 4

1. Sljedećim brojevima definirajte pomoću viška aproksimacije, s određenom pogreškom.

• 1204,27317 Desetine, stotine i one.

Desete: Odnosi se na prvu znamenku nakon zareza, gdje je jedinica sastavljena nakon 0.9. Prekoračenje desetine u višku daje 1204,3.

Stotine: Opet se opaža vezana pogreška čiji je raspon unutar čitavih brojeva slike. Približavanje stotina viška daje 1300. Ta se brojka znatno razlikuje od 1204.27317. Zbog toga se aproksimacije obično ne primjenjuju na cjelobrojne vrijednosti.

Jedinice: Pretjeranim približavanjem jedinici dobiva se 1205.

Primjer 5

1. Krojačica šiva duljinu tkanine od 135,3 cm kako bi napravila zastavu od 7855 cm ². Koliko će izmjeriti druga strana, ako koristite konvencionalni ravnalo koji mjeri do milimetra.

Približite rezultate prema višku i manjkavosti.

Područje zastave je pravokutnika i definirano je:

A = strana x strana

strana = A / strana

strana = 7855cm ² / 135,3cm

strana = 58.05617147 cm

Zbog uvažavanja pravila možemo dobiti podatke do milimetra, što odgovara rasponu decimala u odnosu na centimetar.

Tako je 58cm zadana aproksimacija.

Dok je 58.1 višak aproksimacije.

Primjer 6

1. Definirajte 9 vrijednosti koje mogu biti točni brojevi u svakoj aproksimaciji:

• 34,071 zadano je prema približnom tisućama

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0,012 zadano je prema približnom tisućama

0,01291 0,012099 0,01202

0,01233 0,01223 0,01255

0.01201 0.0121457 0.01297

• 23.9 je rezultat približavanja desetina viška

23.801 23.85555 23.81

23,89 23,8324 23,82

23,833 23,84 23,80004

• 58.37 rezultat je aproksimacije stotinaka viškom

58.3605 58.36001 58.36065

58.3655 58.362 58.363

58.3623 58.361 58.3634

Primjer 7

1. Približni svaki iracionalni broj prema naznačenoj granici pogreške:

• π = 3.141592654….

Tisuće prema zadanom π = 3.141

Tisuće tisuća viška π = 3.142

Stotine prema zadanom π = 3,14

Stotine viška π = 3,15

Desetine su zadane π = 3.1

Desetine viška π = 3.2

• e = 2.718281828…

Tisuće zadanih e = 2.718

Tisuće viška e = 2.719

Stotine prema zadanom e = 2,71

Stotine viška e = 2,72

Desetine su zadane e = 2,7

Desetine viška e = 2,8

• =2 = 1.414213562…

Tisuće su zadani √2 = 1.414

Tisuće viška √2 = 1.415

Stotine prema zadanom √2 = 1,41

Stotine viška √2 = 1,42

Desetine su zadane √2 = 1.4

Desetine viška √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,3333333.,,,,

Tisuće zadanih 1 ÷ 3 = 0,332

Tisuće više od 1 ÷ 3 = 0,334

Stotine prema zadanom 1 ÷ 3 = 0,33

Stotine viška 1 ÷ 3 = 0,34

Desetine su zadane 1 ÷ 3 = 0,3

Desetine viška 1 ÷ 3 = 0,4

Reference

1. Problemi u matematičkoj analizi. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Sveučilište u Vroclavu. Poljska.
2. Uvod u logiku i metodologiju deduktivnih znanosti. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
3. Aritmetički učitelj, svezak 29. Nacionalno vijeće učitelja matematike, 1981. Sveučilište u Michiganu.
4. Teorija učenja i podučavanja brojeva: Istraživanje spoznaje i podučavanja / uredili Stephen R. Campbell i Rina Zazkis. Objavljivanje izdavača Ablex 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.