- Primjeri antideriva
- Diferencijalne jednadžbe
- Antiderivativne vježbe
- - Vježba 1
- Rješenje za
- Rješenje b
- Rješenje c
- Rješenje e
- - Vježba 2
- Riješenje
- Reference
Antiderivative F (x) od funkcije f (x) se također naziva primitivnih ili jednostavno neodređeno sastavni spomenute funkcije, ako je u nekom intervalu I, se ispuni F'(x) = f (x)
Za primjer uzmimo sljedeću funkciju:
f (x) = 4x 3
Antiderivativ ove funkcije je F (x) = x 4, jer pri razlikovanju F (x) koristeći pravilo izvedbe za snage:
Dobivamo precizno f (x) = 4x 3.
Međutim, ovo je samo jedan od mnogih antideriva f (x), budući da je i ova druga funkcija: G (x) = x 4 + 2, jer se prilikom razlikovanja G (x) u odnosu na x dobije isto leđa f (x).
Provjerimo:
Sjetite se da je derivacija konstante jednaka 0. Stoga izrazu x 4 možemo dodati bilo koju konstantu i njezin će derivat ostati 4x 3.
Zaključeno je da svaka funkcija općeg oblika F (x) = x 4 + C, gdje je C stvarna konstanta, služi kao antiderivativ f (x).
Ilustrativni primjer može se izraziti ovako:
dF (x) = 4x 3 dx
Antiderivativni ili neodređeni integral izražen je simbolom ∫, dakle:
F (x) = ∫4x 3 dx = x 4 + C
Gdje se funkcija f (x) = 4x 3 naziva integrand, a C je konstanta integracije.
Primjeri antideriva
Slika 1. Antiderivativ nije ništa drugo nego neodređeni integral. Izvor: Pixabay.
Pronalaženje antiderivata funkcije je jednostavno u nekim slučajevima u kojima su derivati dobro poznati. Na primjer, neka funkcija f (x) = sin x, antiderivativ za nju je druga funkcija F (x), tako da prilikom diferenciranja dobijemo f (x).
Ta funkcija može biti:
F (x) = - cos x
Provjerimo je li istina:
F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x
Stoga možemo napisati:
∫sen x dx = -cos x + C
Pored poznavanja derivata, postoje i neka osnovna i jednostavna pravila integracije za pronalaženje antiderivativnog ili neodređenog integral.
Neka je k realna konstanta, tada:
1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Ako se funkcija h (x) može izraziti kao zbrajanje ili oduzimanje dvije funkcije, tada je njezin neodređeni integral:
3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Ovo je svojstvo linearnosti.
Vladavina moći integrala može se uspostaviti na ovaj način:
U slučaju n = -1, koristi se sljedeće pravilo:
5.- ∫ x -1 dx = ln x + C
Lako je pokazati da je izvedenica ln x tačno x -1.
Diferencijalne jednadžbe
Diferencijalna jednadžba je ona u kojoj se nepoznanica nalazi kao izvedenica.
Sada je iz prethodne analize lako shvatiti da je inverzna operacija na izvedenici antiderivativni ili neodređeni integral.
Neka je f (x) = y´ (x), to jest izvedenica određene funkcije. Za označavanje ove izvedenice možemo upotrijebiti sljedeću oznaku:
Odmah slijedi to:
Nepoznata diferencijalna jednadžba je funkcija y (x), ona čija je izvedenica f (x). Da bi se to riješilo, prethodni izraz je integriran na obje strane, što je ekvivalentno primjeni antiderivativa:
Lijevi integral riješen je pravilom integracije 1, s k = 1, čime se rješava željena nepoznanica:
A budući da je C stvarna konstanta, da bi se znalo koja je odgovarajuća u svakom slučaju, izjava mora sadržavati dovoljno dodatnih informacija da se izračuna vrijednost C. To se naziva početni uvjet.
Primjere primjene svega toga vidjet ćemo u sljedećem odjeljku.
Antiderivativne vježbe
- Vježba 1
Primjenite pravila integracije za dobivanje sljedećih antideriva ili neodređenih integrala danih funkcija, pojednostavljujući rezultate koliko god je to moguće. Prikladno je rezultat provjeriti derivacijom.
Slika 2. Vježbe antideriva ili određenih integrala. Izvor: Pixabay.
Rješenje za
Prvo primjenjujemo pravilo 3, budući da je integrand zbroj dvaju termina:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
Za prvi integral primjenjuje se pravilo napajanja:
∫ dx = (x 2 /2), = C 1
U drugom je cjelovito pravilo 1 primijenjeno, gdje je k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + C 2
A sada se dodaju i rezultati. Dvije konstante su grupirane u jednu, generički nazvanu C:
∫ (x + 7) dx = (x 2 /2), 7x + + C
Rješenje b
Linearnošću se ovaj integralni dio dekomponira u tri jednostavnija integrala na koja će se primijeniti pravilo moći:
∫ (x 3/2 + x 2 + 6) dx = ∫x 3/2 dx + ∫x 2 dx + ∫6 dx =
Napominjemo da se za svaki integral pojavljuje konstanta integracije, ali oni se susreću u jednom pozivu C.
Rješenje c
U ovom je slučaju prikladno primijeniti distribucijsko svojstvo množenja za razvoj integranda. Tada se koristi pravilo napajanja za pronalaženje svakog integralno odvojeno, kao u prethodnoj vježbi.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x 2 -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x 2 + x - 2) dx
Pažljivi čitatelj primijetit će da su dva središnja pojma slična, stoga se smanjuju prije integracije:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x 2 dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x 3 + (1/2) x 2 - 2x + C
Rješenje e
Jedan od načina da se riješi integral biće razvijanje moći, kao što je učinjeno u primjeru d. No, s obzirom da je eksponent viši, bilo bi preporučljivo promijeniti varijablu, kako ne bi bilo potrebno tako dugo razvijati.
Promjena varijable je sljedeća:
u = x + 7
Izvođenje ovog izraza na obje strane:
du = dx
S novom varijablom integral se transformira u jednostavniju koja se rješava pravilom snage:
∫ (x + 7) 5 dx = ∫ u 5 du = (1/6) u 6 + C
Na kraju se promjena vraća i vraća se izvornoj varijabli:
∫ (x + 7) 5 dx = (1/6) (x + 7) 6 + C
- Vježba 2
Čestica je u početku u mirovanju i kreće se duž osi x. Njeno ubrzanje za t> 0 daje se funkcijom a (t) = cos t. Poznato je da je pri t = 0 položaj x = 3, sve u jedinicama Međunarodnog sustava. Od njega se traži da pronađe brzinu v (t) i položaj x (t) čestice.
Riješenje
Kako je ubrzanje prva derivacija brzine s obzirom na vrijeme, imamo sljedeću diferencijalnu jednadžbu:
a (t) = v´ (t) = cos t
Iz toga slijedi:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C 1
S druge strane, znamo da je brzina, zauzvrat, derivat položaja, pa se ponovno integriramo:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C 1) dt = ∫sen t dt + ∫C 1 dt = - cos t + C 1 t + C 2
Konstante integracije određuju se na osnovu podataka danih u izjavi. Na prvom mjestu piše da je čestica prvotno bila u mirovanju, stoga je v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C 1 = 0
C 1 = 0
Tada imamo x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C 1 0 + C 2 = - 1 + C 2 = 3 → C 2 = 3 + 1 = 4
Funkcije brzine i položaja su definitivno takve:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
Reference
- Engler, A. 2019. Integralni račun. Nacionalno sveučilište Litoral.
- Larson, R. 2010. Proračun varijable. 9.. Izdanje. McGraw Hill.
- Matematika Besplatni tekstovi. Antiderivatives. Oporavak s: math.liibretexts.org.
- Wikipedia. Antiderivative. Oporavilo sa: en.wikipedia.org.
- Wikipedia. Neodređena integracija. Oporavak od: es.wikipedia.org.