DIMENZIONALNA ANALIZA: TEHNIKE, PRINCIP I VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

Dimenzijska analiza je alat je naširoko koristi u različitim granama znanosti i inženjerstva za bolje razumijevanje fenomena koji uključuju prisutnost različitih fizikalnih veličina. Količine imaju dimenzije i iz njih se izvode različite mjerne jedinice.

Podrijetlo koncepta dimenzije nalazimo kod francuskog matematičara Josepha Fouriera, koji je bio taj koji ga je skovao. Fourier je također shvatio da, kako bi dvije jednadžbe bile usporedive, moraju biti homogene u odnosu na svoje dimenzije. Drugim riječima, brojila se ne mogu dodati kilogramima.

Dakle, dimenzionalna analiza odgovorna je za proučavanje veličine, dimenzija i homogenosti fizičkih jednadžbi. Iz tog razloga se često koristi za provjeru odnosa i izračuna ili za konstrukciju hipoteza na kompliciranim pitanjima koja se kasnije mogu eksperimentalno testirati.

Na taj je način dimenzionalna analiza savršen alat za otkrivanje pogrešaka u proračunima provjeravanjem kongruencije ili nedosljednosti jedinica koje se u njima koriste, stavljajući poseban fokus na jedinice konačnih rezultata.

Pored toga, dimenzionalna analiza koristi se za oblikovanje sustavnih eksperimenata. Omogućuje smanjenje broja potrebnih eksperimenata, kao i olakšavanje interpretacije dobivenih rezultata.

Jedna od temeljnih osnova dimenzijske analize je da je moguće predstaviti bilo koju fizičku veličinu kao proizvod sila manje količine, poznate kao fundamentalne količine iz kojih su izvedene ostale.

Temeljne veličine i dimenzijska formula

U fizici se osnovnim veličinama smatraju one koje omogućuju izražavanje ostalih u funkciji tih. Prema dogovoru odabrano je: duljina (L), vrijeme (T), masa (M), intenzitet električne struje (I), temperatura (θ), jačina svjetlosti (J) i količina tvari (N).

Naprotiv, ostatak se smatra izvedenim količinama. Neki od njih su: područje, volumen, gustoća, brzina, ubrzanje, između ostalih.

Dimenzionalna formula je definirana kao matematička jednakost koja prikazuje odnos između izvedene količine i temeljne.

Tehnike dimenzijske analize

Postoje različite tehnike ili metode dimenzionalne analize. Dvije najvažnije su sljedeće:

Rayleigh metoda

Rayleigh, koji je zajedno s Fourierom bio jedan od prethodnika dimenzijske analize, razvio je izravnu i vrlo jednostavnu metodu koja nam omogućava dobivanje bezdimenzionalnih elemenata. U ovoj se metodi slijede sljedeći koraci:

1- Definirana je funkcija potencijalnih znakova ovisne varijable.

2- Svaka varijabla mijenja se u odgovarajućim dimenzijama.

3- Uspostavljene su jednadžbe uvjeta homogenosti.

4- Np nepoznanice su postavljene.

5- Izložene su izračunate i fiksirane u jednadžbi potencijala.

6- Grupe varijabli se premještaju da definiraju bezdimenzionalne brojeve.

Buckinghamska metoda

Ta se metoda temelji na Buckinghamovoj teoremi ili pi teoremi koja kaže sljedeće:

Ako postoji homogeni odnos dimenzija između broja "n" fizičkih ili varijabilnih veličina u koje su uključene različite p osnovne dimenzije, postoji i dimenzionalni homogeni odnos između n - p, neovisnih bezdimenzionalnih skupina.

Princip dimenzijske homogenosti

Fourierov princip, poznat i kao princip dimenzijske homogenosti, utječe na pravilno strukturiranje izraza koji algebrično povezuju fizičke veličine.

To je princip koji ima matematičku konzistentnost i kaže da je jedina opcija oduzimanje ili dodavanje fizičkih veličina iste prirode. Stoga nije moguće dodati masu s duljinom, niti vrijeme s površinom, itd.

Slično, načelo kaže da, da bi fizičke jednadžbe bile dimenzionalno ispravne, zbroj izraza članova dviju strana jednakosti mora imati istu dimenziju. Ovaj princip omogućava zajamčiti koherenciju fizičkih jednadžbi.

Princip sličnosti

Princip sličnosti je produljenje dimenzijske karakteristike homogenosti fizikalnih jednadžbi. To je navedeno na sljedeći način:

Fizički zakoni ostaju nepromijenjeni kad se suoče s promjenama dimenzija (veličine) fizičkog događaja u istom sustavu jedinica, bilo da se radi o promjenama stvarne ili imaginarne prirode.

Najjasnija primjena principa sličnosti događa se u analizi fizičkih svojstava modela izrađenog u manjem opsegu, da bi se kasnije rezultati u objektu koristili u stvarnoj veličini.

Ova je praksa od ključne važnosti u područjima kao što su projektiranje i proizvodnja aviona i brodova te u velikim hidrauličkim radovima.

Prijave

Mnoge primjene dimenzijske analize uključuju one navedene u nastavku.

- Pronađite moguće pogreške u provedenim operacijama

- Riješite probleme čije rješavanje predstavlja neke nepremostive matematičke poteškoće.

- Dizajnirati i analizirati modele malih razmjera.

- napraviti opažanja o tome kako moguće modifikacije utječu na model.

Također, dimenzionalna analiza koristi se prilično često u proučavanju mehanike fluida.

Relevantnost dimenzionalne analize u mehanici tekućina nastaje zbog toga što je teško uspostaviti jednadžbe u određenim tokovima, kao i poteškoće u njihovom rješavanju, pa je nemoguće postići empirijske odnose. Iz tog razloga potrebno je pribjeći eksperimentalnoj metodi.

Riješene vježbe

Prva vježba

Pronađite jednadžbu dimenzija za brzinu i ubrzanje.

Riješenje

Budući da je v = s / t, istina je da je: = L / T = L ∙ T ^-1

Slično:

a = v / t

= L / T ² = L ∙ T ^-2

Druga vježba

Odredite jednadžbu dimenzija za moment.

Riješenje

Budući da je zamah proizvod mase i brzine, istina je da je p = m ∙ v

Tako:

= M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T ^-2

Reference

1. Dimenzionalna analiza (nd). Na Wikipediji. Preuzeto 19. svibnja 2018. s es.wikipedia.org.
2. Dimenzionalna analiza (nd). Na Wikipediji. Preuzeto 19. svibnja 2018. s en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), Dimenzionalna analiza i teorija modela, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Fizika i kemija. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Razumijevanje fizike. Birkhauser.