VEKTORI U SVEMIRU: KAKO GRAFIKOVATI, APLIKACIJE, VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

Vektor u prostoru je sve što zastupa koordinatnom sustavu dao x, y i z. Većinu vremena ravnina xy je vodoravna površinska ravnina, a os z predstavlja visinu (ili dubinu).

Kartezijeve koordinatne osi prikazane na slici 1 dijele prostor na 8 regija zvanih oktani, analogno načinu na koji x-y osi dijele ravninu na 4 kvadranta. Tada ćemo imati 1. oktanta, 2. oktanta i tako dalje.

Slika 1. Vektor u prostoru. Izvor: self made.

Slika 1 sadrži prikaz vektora v u prostoru. Potrebna je neka perspektiva za stvaranje iluzije o tri dimenzije na ravnini zaslona, ​​što se postiže crtanjem kosog pogleda.

Za grafički prikaz 3D vektora potrebno je koristiti isprekidane crte koje na mreži određuju koordinate projekcije ili "sjene" v na xy površini. Ova projekcija počinje na O i završava u zelenoj točki.

Kad stignete tamo, morate nastaviti okomito do potrebne visine (ili dubine) prema vrijednosti z, sve dok ne dođete do P. Vektor se crta počevši od O i završavajući na P, što je u primjeru u 1. oktanu.

Prijave

Vektori u svemiru naširoko se koriste u mehanici i drugim granama fizike i inženjerstva, jer strukture koje nas okružuju zahtijevaju geometriju u tri dimenzije.

Pozicioni vektori u prostoru koriste se za pozicioniranje objekata u odnosu na referentnu točku koja se zove OR podrijetlo, dakle oni su također potrebni alati u plovidbi, ali to nije sve.

Sile koje djeluju na konstrukcije kao što su vijci, nosači, kablovi, potpornje i drugo su vektorske prirode i orijentirane u prostoru. Da bi se znao njegov učinak, potrebno je znati njegovu adresu (a također i njezinu točku primjene).

A često je smjer sile poznat po tome što znamo dvije točke u prostoru koje pripadaju njegovoj liniji djelovanja. Na ovaj način sila je:

F = F u

Gdje je F veličina ili magnituda sila i u je jedinica vektor (modul 1) usmjerene duž linije akcijskog F.

Notacija i 3D vektorski prikazi

Prije nego što nastavimo s rješavanjem nekih primjera, ukratko ćemo pregledati notaciju 3D vektora.

U primjeru na slici 1, vektor v, čija se početna točka podudara s ishodištem O i čiji je kraj točka P, ima pozitivne xyz koordinate, dok je y koordinata negativna. Te su koordinate: x ₁, y ₁, z ₁, koje su točno koordinate P.

Dakle, ako imamo vektor povezan s podrijetlom, tj. Čija se početna točka podudara s O, vrlo je lako naznačiti njegove koordinate, koje će biti one krajnje točke ili P. Za razlikovanje točke i vektora koristit ćemo zadnja podebljana slova i zagrade, kao što je ovaj:

v = <x ₁, y ₁, z ₁ >

Dok je točka P označena zagradama:

P = (x ₁, y ₁, z ₁)

Drugi prikaz koristi jedinice vektora i, j i k koje definiraju tri smjera prostora na osi x, y i z.

Ti su vektori okomiti jedan na drugi i tvore ortonormalnu osnovu (vidi sliku 2). To znači da se 3D vektor može na njih napisati kao:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Kutovi i redateljevi kosinovi vektora

Na slici 2 su prikazani i direktorijski kutovi γ ₁, γ ₂ i γ ₃ koje vektor v čini respektivno s osi x, y i z. Znajući ove kutove i veličine vektora, to je potpuno određeno. Uz to, kosinus kutova redatelja zadovoljava sljedeći odnos:

(cos γ ₁) ² + (cos γ ₂) ² + (cos γ ₃) ² = 1

Slika 2. Jedinični vektori i, j i k određuju 3 preferencijalna smjera prostora. Izvor: self made.

Riješene vježbe

-Vježba 1

Na slici 2 su kutovi γ ₁, γ ₂ i γ ₃ koji vektor v modula 50 tvori s koordinatnim osovinama: 75,0 °, 60,0 ° i 34,3 °. Pronađite kartezijanske komponente ovog vektora i predstavljajte ih prema jediničnim vektorima i, j i k.

Riješenje

Projekcija vektora v na os _x je v _x = 50. cos 75º = 12.941. Na isti način, projekcija v na osi y je v _y = 50 cos 60 º = 25 i konačno na osi z je v _z = 50. cos 34.3 º = 41.3. Sada se v može izraziti kao:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Vježba 2

Pronađite napon u svakom od kablova koji drže kantu na slici koja je u ravnoteži, ako je njena težina 30 N.

Slika 3. Dijagram naprezanja za vježbu 2.

Riješenje

Na kanti, dijagram slobodnog tijela pokazuje da T _D (zelena) nadoknađuje težinu W (žuta), dakle T _D = W = 30 N.

Na čvoru je vektor T _D usmjeren okomito prema dolje, tada:

T _D = 30 (- k) N.

Da biste uspostavili preostale napone, slijedite ove korake:

Korak 1: Pronađite koordinate svih točaka

A = (4,5,0,3) (A je na ravnini zida xz)

B = (1,5,0,0) (B je na x-osi)

C = (0, 2,5, 3) (C je na ravnini zida i z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D je na vodoravnoj xy ravnini)

Korak 2: Pronađite vektore u svakom smjeru oduzimanjem koordinata kraja i početka

DA = <3; -1.5; 3>

DC = <-1,5; jedan; 3>

DB = <0; -1.5; 0>

Korak 3: Izračunajte module i vektore jedinica

Jedinica vektora dobiva se izrazom: u = r / r, pri čemu je r (podebljano) vektor, a r (ne podebljano) je modul navedenog vektora.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ²) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ²) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1.5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; jedan; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0.86>

u _DB = <0; -jedan; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Korak 4: Izraziti sva naprezanja kao vektori

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0.86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -jedan; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Korak 5: Primijenite stanje statičke ravnoteže i riješite sustav jednadžbi

Konačno, uvjet statičke ravnoteže se primjenjuje na kantu, tako da je vektorski zbroj svih sila na čvoru nula:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Budući da su naponi u prostoru, to će rezultirati sustavom od tri jednadžbe za svaku komponentu (x, y i z) napona.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Rješenje je: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Reference

1. Bedford, 2000. A. Inženjerska mehanika: Statika. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Kinematika. 31-68.
3. Fizička. Modul 8: Vektori. Oporavak od: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mehanika za inženjere. Statički 6. izdanje Izdavačka kuća Continental. 15-53.
5. Kalkulator vektorskih dodavanja. Opravljeno od: 1728.org