REZULTAT VEKTORA: PRORAČUN, PRIMJERI, VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

Dobiveni vektor je onaj dobiven operacije s vektorima čija posljedica je vektor. Obično je ta operacija zbroj dva ili više vektora pomoću kojih se dobiva vektor čiji je učinak ekvivalentan.

Na taj se način dobivaju vektori poput rezultirajuće brzine, ubrzanja ili sile. Na primjer, kada nekoliko sila F ₁, F ₂, F ₃,… djeluje na tijelo. vektorski zbroj svih tih sila jednak je neto sili (rezultirajućoj), koja se matematički izražava na sljedeći način:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R ili F _N

Slika 1. Težina snijega raspoređena je na krovu i njegovo djelovanje može se zamijeniti jednom rezultirajućom silom koja je primijenjena na odgovarajućem mjestu. Izvor: Pixabay.

Rezultirajući vektor, bilo da je sila ili bilo koja druga veličina vektora, nalazi se primjenom pravila dodavanja vektora. Kako vektori imaju smjer i smisao, kao i brojčanu vrijednost, nije dovoljno dodati module da imaju rezultirajući vektor.

To vrijedi samo u slučaju kada su uključeni vektori u istom smjeru (vidi primjere). Inače je potrebno koristiti metode vektorskog zbroja, koje ovisno o slučaju mogu biti geometrijske ili analitičke.

Primjeri

Geometrijske metode pronalaženja rezultirajućeg vektora su metoda transverziteta i paralelogramska metoda.

Što se tiče analitičkih metoda, postoji komponentna metoda pomoću koje se može naći vektor koji proizlazi iz bilo kojeg sustava vektora, sve dok imamo njegove kartezijanske komponente.

Geometrijske metode za dodavanje dva vektora

Pretpostavimo da su vektori u i v (podebljamo ih podebljano kako bismo ih razlikovali od skalara). Na slici 2a) imamo ih smještene u ravnini. Na slici 2 b) preveden je u vektor v na takav način da se njegovo podrijetlo podudara s krajem u. Rezultirajući vektor ide od izvora prvog (u) do vrha posljednjeg (v):

Slika 2. Rezultirajući vektor iz grafičke sume vektora. Izvor: self made.

Rezultirajući lik u ovom slučaju je trokut (trokut je trostrani mnogokut). Ako imamo dva vektora u istom smjeru, postupak je isti: stavite jedan od vektora iza drugog i nacrtajte jedan koji ide od izvora ili repa prvog do vrha ili kraja posljednjeg.

Imajte na umu da redoslijed kojim se vrši ovaj postupak nije bitan, jer je zbroj vektora komutativan.

Također imajte na umu da je u ovom slučaju modul (duljina ili veličina) rezultirajućeg vektora zbroj modula dodanih vektora, za razliku od prethodnog slučaja, u kojem je modul rezultirajućeg vektora manji od zbroja sudionički moduli

Paralelogramska metoda

Ova je metoda vrlo prikladna kada trebate dodati dva vektora čije se početne točke podudaraju, recimo, s podrijetlom xy koordinatnog sustava. Pretpostavimo da je to slučaj za naše vektore u i v (slika 3a):

Slika 3. Zbroj dva vektora primjenom paralelogramske metode s rezultirajućim vektorom u tirkizno plavoj boji. Izvor: self made.

Na slici 3b) uz pomoć isprekidanih linija paralelnih u i v napravljen je paralelogram. Rezultirajući vektor ima svoje podrijetlo na O i kraj na mjestu gdje se isprekidane crte presijecaju. Ovaj je postupak potpuno jednak onome opisanom u prethodnom odjeljku.

vježbe

-Vježba 1

S obzirom na sljedeće vektore, pronađite rezultirajući vektor pomoću metode prelaska.

Slika 4. Vektori mogu pronaći svoj rezultat koristeći poligonalnu metodu. Vježba 1. Izvor: vlastiti elaborat.

Riješenje

Metoda prelaska prva je od viđenih metoda. Zapamtite da je zbroj vektora komutativan (redoslijed dodataka ne mijenja zbroj), tako da možete započeti s bilo kojim od vektora, na primjer, u (slika 5a) ili r (slika 5b):

Slika 5. Zbroj vektora pomoću poligonalne metode. Izvor: self made.

Slika dobiven je poligon, a dobiveni vektor (plavo) naziva R. Ako započnete s drugim vektorom, oblik koji se formira može biti različit, kao što je prikazano u primjeru, ali rezultirajući vektor je isti.

Vježba 2

Na slijedećoj slici znamo da su moduli vektora u i v u = 3 proizvoljne jedinice i v = 1,8 proizvoljne jedinice. Kut koji u pravite s pozitivnom osi x je 45º, dok v čini 60º sa osi y, kao što je prikazano na slici. Pronađite rezultirajući vektor, veličinu i smjer.

Riješenje

U prethodnom odlomku nađeni su rezultirajući primjenom paralelogramske metode (u tirkiznoj slici).

Jednostavan način analitičkog pronalaska rezultirajućih vektora je izražavanje dodanih vektora u smislu njihovih kartezijanskih komponenti, što je lak zadatak kada su poznati modul i kut, poput vektora u ovom primjeru:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2.12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vektori u i v su vektori koji pripadaju ravnini, stoga imaju po dvije komponente. Vektor u je u prvom kvadrantu i njegove su komponente pozitivne, dok je vektor v u četvrtom kvadrantu; njegova komponenta x je pozitivna, ali projekcija na okomitu os pada na negativnu os.

Proračun kartezijanskih komponenata rezultirajućeg vektora

Rezultirajući vektor se pronalazi dodavanjem algebarskih elemenata x i y kako bi se dobile njihove kartezijanske komponente:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Jednom kada su kartezijanske komponente određene, vektor je u potpunosti poznat. Rezultirajući vektor može se izraziti notacijom u zagradama:

R = <3,68; 1.22> proizvoljne jedinice

Notacija nota koristi se za razlikovanje vektora od točke u ravnini (ili u prostoru). Drugi način da se dobiveni vektor analitički izrazi korištenjem vektorskih jedinica i i j u ravnini (i, j i k u prostoru):

R = 3,68 i + 1,22 j proizvoljnih jedinica

Kako su obje komponente rezultirajućeg vektora pozitivne, vektor R pripada prvom kvadrantu, što smo već vidjeli grafički.

Veličina i smjer rezultirajućeg vektora

Poznavajući kartezijanske komponente, veličina R se izračunava pitagorejskom teoremom, jer rezultirajući vektor R, zajedno sa svojim komponentama R _x i R , tvori pravi trokut:

Veličina ili modul: R = (3,68 ² + 1,22 ²) ^½ = 3,88

Smjer q uzimajući pozitivnu osi x kao referencu: q = arctan (R _y / R _x) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Reference

1. Dodavanje vektora i pravila. Preuzeto s: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Kinematika. 31-68.
3. Fizička. Modul 8: Vektori. Oporavak od: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mehanika za inženjere. Statički 6. izdanje Izdavačka kuća Continental. 15-53.
5. Kalkulator vektorskih dodavanja. Preuzeto sa: www.1728.org