TEHNIKE BROJANJA: TEHNIKE, APLIKACIJE, PRIMJERI, VJEŽBE - DUDÁS - 2025

Na tehnike računajući su niz metoda vjerojatnosti računati broj mogućih mehanizama u setu ili više kompleta objekata. Oni se koriste kada ručno obavljanje računa postaje komplicirano zbog velikog broja objekata i / ili varijabli.

Na primjer, rješenje ovog problema je vrlo jednostavno: zamislite da vas šef traži da prebrojite najnovije proizvode koji su stigli u posljednjih sat vremena. U ovom slučaju možete odlaziti i brojati proizvode jedan po jedan.

No, zamislite da je problem u ovome: šef vas moli da prebrojite koliko grupa od 5 proizvoda iste vrste može biti formirano s onima koji su stigli u zadnjih sat vremena. U ovom je slučaju izračun složen. Za ove vrste situacija koriste se takozvane tehnike brojanja.

Te su tehnike različite, ali najvažnije su podijeljene na dva osnovna principa, a to su multiplikativnost i aditiv; permutacije i kombinacije.

Multiplikativni princip

Prijave

Multiplikativni princip, zajedno s dodatkom, osnovni su za razumijevanje rada tehnika brojanja. U slučaju multiplikative sastoji se od sljedećeg:

Zamislimo aktivnost koja uključuje određeni broj koraka (označavamo ukupno kao "r"), pri čemu se prvi korak može izvesti na N1 način, drugi korak u N2, a korak "r" na Nr načine. U ovom se slučaju aktivnost može izvesti iz broja oblika koji su rezultat ove operacije: N1 x N2 x ……….x Nr oblika

Zbog toga se ovaj princip naziva multiplikativnim, a podrazumijeva da se svaki korak koji je potreban za obavljanje aktivnosti mora provesti jedan za drugim.

Primjer

Zamislimo osobu koja želi izgraditi školu. Da biste to učinili, uzmite u obzir da se baza zgrade može graditi na dva različita načina, cement ili beton. Što se tiče zidova, oni mogu biti izrađeni od adobe, cementa ili opeke.

Što se tiče krova, može biti izrađen od cementa ili pocinčanog lima. Konačno, konačna slika može se izvršiti samo na jedan način. Pitanje koje se postavlja je sljedeće: Koliko načina mora izgraditi školu?

Prvo razmotrimo broj koraka, koji bi bili baza, zidovi, krov i boja. Ukupno 4 koraka, dakle r = 4.

Navesti bi N:

N1 = načini za izgradnju baze = 2

N2 = načini izgradnje zidova = 3

N3 = načini izrade krova = 2

N4 = načini slikanja = 1

Stoga bi se broj mogućih oblika izračunao pomoću gore opisane formule:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 načina školovanja.

Princip aditiva

Prijave

Ovo je načelo vrlo jednostavno i sastoji se u činjenici da, u slučaju postojanja više alternativa za istu aktivnost, mogući se načini sastoje od zbroja različitih mogućih načina provođenja svih alternativa.

Drugim riječima, ako želimo provesti aktivnost s tri alternative, pri čemu se prva alternativa može izvesti na M načine, druga na N načina, a posljednja na W način, aktivnost se može obaviti na: M + N + ……… + W oblici.

Primjer

Zamislimo ovaj put osobu koja želi kupiti teniski reket. Da biste to učinili, imate tri marke koje možete odabrati: Wilson, Babolat ili Head.

Kada odete u trgovinu, vidite da se Wilson reket može kupiti s drškom dviju različitih veličina, L2 ili L3 u četiri različita modela i može se nanizati ili otkopčati.

Reket Babolat, s druge strane, ima tri ručke (L1, L2 i L3), postoje dva različita modela i može se nanizati ili otkopčati.

Head reket, sa svoje strane, dostupan je samo s jednom ručkom, L2, u dva različita modela i samo se otkopčava. Pitanje je: Na koliko načina ta osoba mora kupiti svoj reket?

M = broj načina na koji možete odabrati Wilson reket

N = broj načina za odabir reketa Babolat

W = broj načina na koji se odabire Head reket

Izvodimo princip množitelja:

M = 2 x 4 x 2 = 16 oblika

N = 3 x 2 x 2 = 12 načina

W = 1 x 2 x 1 = 2 načina

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 načina izbora reketa.

Da biste znali kada trebate koristiti multiplikativni princip i aditiv, morate samo pogledati ima li aktivnost niz koraka za izvođenje, a postoji li nekoliko alternativa aditiva.

permutacije

Prijave

Da biste razumjeli što je permutacija, važno je objasniti što je kombinacija kako biste ih mogli razlikovati i znati kada ih koristiti.

Kombinacija bi bila raspored elemenata u kojem nas ne zanima položaj koji svaki od njih zauzima.

Permutacija, s druge strane, bio bi raspored elemenata u kojem nas zanima položaj koji svaki od njih zauzima.

Navedimo primjer kako bismo bolje razumjeli razliku.

Primjer

Zamislimo klasu s 35 učenika i sa sljedećim situacijama:

1. Učitelj želi da mu tri učenika pomognu održavati učionicu čistom ili će po potrebi predavati materijale ostalim učenicima.
2. Učitelj želi imenovati delegate u razredu (predsjednika, pomoćnika i financijera).

Rješenje bi bilo sljedeće:

1. Zamislimo da se glasom, Juan, María i Lucía biraju kako bi čistili razred ili dostavljali materijale. Očito su se mogle formirati i druge skupine od tri, među 35 mogućih učenika.

Moramo se zapitati sljedeće: je li pri njihovom odabiru važno redoslijed ili položaj svakog učenika?

Ako malo razmislimo, vidimo da to zaista nije važno, jer će grupa za dva zadatka biti jednaka. U ovom slučaju to je kombinacija, jer nas ne zanima položaj elemenata.

1. Zamislimo sada da je Juan izabran za predsjednika, Marija za pomoćnika, a Lucia za financijera.

Je li u ovom slučaju redoslijed važan? Odgovor je da, jer ako promijenimo elemente, rezultat se mijenja. To jest, ako umjesto Juana za predsjednika, stavimo njega kao pomoćnika, a Mariju za predsjednika, konačni rezultat bi se promijenio. U ovom slučaju to je permutacija.

Kad se razlika shvati, doći ćemo do formula za permutacije i kombinacije. Ipak, najprije moramo definirati pojam "n!" (ene factorial), jer će se koristiti u različitim formulama.

n! = proizvod od 1 do n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ………..xn

Pomoću stvarnih brojeva:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Formula permutacija bila bi sljedeća:

nPr = n! / (nr)!

Pomoću nje možemo saznati raspored gdje je redoslijed važan, a gdje su n elementi različiti.

kombinacije

Prijave

Kao što smo ranije komentirali, kombinacije su rasporedi u kojima nam nije stalo do položaja elemenata.

Njegova formula je sljedeća:

nCr = n! / (nr)! r!

Primjer

Ako postoji 14 učenika koji žele dobrovoljno očistiti učionicu, koliko grupa može se formirati ako svaka grupa mora biti 5 ljudi?

Stoga bi rješenje bilo sljedeće:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupe

Riješene vježbe

Vježba 1

Izvor: Pixabay.com

Majka Nataliju moli da ode u trgovinu i kupi joj soda da se ohladi. Kad Natalia pita službenicu za piće, on joj govori da postoje četiri okusa bezalkoholnih pića, tri vrste i tri veličine.

Okusi bezalkoholnih pića mogu biti: kola, limun, naranča i metvica.

Vrste kola mogu biti: redovita, bez šećera, bez kofeina.

Veličine mogu biti: male, srednje i velike.

Natalijina majka nije navela kakvo bezalkoholno piće želi.Koliko načina Natalia mora kupiti piće?

Riješenje

M = Veličina i broj vrste koji možete odabrati kad odaberete kola.

N = Broj veličina i vrsta koje možete odabrati kad birate sodu od limuna.

W = Veličina i broj vrste koji možete odabrati kad odaberete soda od naranče.

Y = Veličina i broj vrste koji možete odabrati kad odaberete svoju soda od metvice.

Izvodimo princip množitelja:

M = 3 × 3 = 9 načina

N = 3 × 3 = 9 načina

W = 3 × 3 = 9 načina

Y = 3 × 3 = 9 načina

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 načina odabira sode.

Vježba 2

Izvor: pixabay.com

Sportski klub oglašava radionice za besplatan pristup kako bi djeca naučila klizati. Upisano je 20 djece, pa ih odluče podijeliti u dvije grupe od po deset ljudi kako bi instruktori lakše predavali nastavu.

Zauzvrat, oni odlučuju nacrtati u koju će skupinu pasti svako dijete. Koliko različitih skupina dijete može ući?

Riješenje

U ovom slučaju, način pronalaženja odgovora koristi se tehnikom kombiniranja, čija je formula bila: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (broj djece)

r = 10 (veličina grupe)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184.756 grupa.

Reference

1. Jeffrey, RC, Vjerojatnost i umjetnost prosudbe, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Uvod u teoriju vjerojatnosti i njezine primjene", (Vol. 1), 3. izd., (1968.), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logički temelji i mjerenje subjektivne vjerojatnosti". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Uvod u matematičku statistiku (6. izd.). Gornja sedla: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Znanost o konstrukciji: dokazi i vjerojatnost prije Pascala, Johns Hopkins University Press.