SMANJIVANJE SLIČNIH POJMOVA (SA VJEŽBAMA RIJEŠENIM) - MATEMATIKA - 2025

Smanjenje takvih uvjeta je metoda koristi za pojednostavljenje algebarski izraz. U algebarskom izrazu, pojmovi su oni koji imaju istu varijablu; to jest, imaju iste nepoznanice predstavljene slovom, a imaju iste eksponente.

U nekim slučajevima polinomi su opsežni, a da bi se došlo do rješenja mora se pokušati smanjiti izraz; To je moguće kad postoje slični izrazi koji se mogu kombinirati primjenom operacija i algebričnih svojstava kao što su zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje.

Obrazloženje

Pojmovi se sastoje od istih varijabli s istim eksponentima, au nekim se slučajevima oni razlikuju samo njihovim numeričkim koeficijentima.

Slični se pojmovi smatraju i onima koji nemaju varijable; odnosno one izraze koji imaju samo konstante. Tako su, na primjer, slijedeći izrazi:

- 6x ² - 3x ². Oba izraza imaju istu varijablu x ².

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³. Oba izraza imaju iste varijable a ² b ³.

- 7 - 6. Izrazi su konstantni.

Oni izrazi koji imaju iste varijable, ali s različitim eksponentima, nazivaju se različiti pojmovi, kao što su:

- 9a ² b + 5ab. Varijable imaju različite eksponente.

- 5x + y. Varijable su različite.

- b - 8. Jedan pojam ima varijablu, drugi je konstanta.

Identificirajući slične pojmove koji čine polinom, ovi se mogu svesti na jedan, kombinirajući sve one koji imaju iste varijable s istim eksponentima. Na taj se način izraz pojednostavljuje smanjenjem broja pojmova koji ga čine i olakšava se izračunavanje njegovog rješenja.

Kako izvršiti smanjenje sličnih izraza?

Smanjivanje sličnih pojmova vrši se primjenom asocijativnog svojstva dodavanja i distributivnog svojstva proizvoda. Sljedećim postupkom može se izvršiti smanjenje termina:

- Prvo, kao pojmovi su grupirani.

- Koeficijenti (brojevi koji prate varijable) sličnih izraza zbrajaju se ili oduzimaju i primjenjuju se asocijativna, komutativna ili distributivna svojstva, ovisno o slučaju.

- Tada se pišu novi izrazi, stavljajući ispred njih znak koji je proizašao iz operacije.

Primjer

Smanjite pojmove sljedećeg izraza: 10x + 3y + 4x + 5y.

Riješenje

Prvo, naredili su se pojmovi da se grupiraju oni koji su slični, primjenjujući komutacijsko svojstvo:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Tada se primjenjuje svojstvo distribucije i dodaju se koeficijenti koji prate varijable za dobivanje smanjenja pojmova:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y.

Da bismo smanjili slične pojmove, važno je uzeti u obzir znakove koeficijenata koji prate varijablu. Postoje tri moguća slučaja:

Redukcija sličnih izraza s jednakim znakovima

U ovom slučaju dodaju se koeficijenti i ispred rezultata se stavlja znak znakova. Stoga, ako su pozitivni, rezultirajući izrazi bit će pozitivni; u slučaju da su izrazi negativni, rezultat će imati znak (-) popraćen promenljivom. Na primjer:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ².

b) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6.

Redukcija sličnih izraza c

U ovom slučaju koeficijenti se oduzimaju, a ispred rezultata se stavlja znak najvećeg koeficijenta. Na primjer:

a) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4x ² y - 11x ² y)

= 21x ² y + (-15x ^{2 g})

= 21x ² y - 15x ² y

= 6x ² i.

b) -5a ³ b + 3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= -5 do ³ b.

Dakle, za smanjenje sličnih izraza koji imaju različite znakove formira se jedan aditivni pojam sa svim onima koji imaju pozitivan predznak (+), dodaju se koeficijenti i rezultat prate varijable.

Na isti se način formira subtraktivni pojam, sa svim onim izrazima koji imaju negativan predznak (-), dodaju se koeficijenti i rezultat prate varijable.

Na kraju se oduzimaju zbrojevi dvaju formiranih pojmova, a na rezultatu se stavlja znak većeg.

Smanjenje sličnih izraza u operacijama

Smanjivanje sličnih pojmova operacija je algebre koja se može primijeniti dodavanjem, oduzimanjem, množenjem i algebrskom podjelom.

U zbroju

Ako imate nekoliko polinoma s sličnim izrazima, da biste ih smanjili, naredili su da se pojmovi svakog polinoma zadrže njihove znakove, a zatim se pišu jedan za drugim i slični pojmovi se smanjuju. Na primjer, imamo sljedeće polinom:

3x - 4xy + 7x ² i + 5xy ².

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

U oduzimanju

Da oduzmemo jedan polinom od drugog, piše se minuend, a zatim se subtrahend sa svojim znakovima promijeni, a zatim se vrši smanjenje sličnih izraza. Na primjer:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

Stoga su polinomi sažeti u 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c.

U množenjima

U proizvodu polinoma, pojmovi koji čine množinu množe se svaki izraz koji tvori množitelj, smatrajući da znakovi množenja ostaju isti ako su pozitivni.

Oni će se mijenjati samo ako se množe s izrazom koji je negativan; to jest, kad se pomnože dva pojma istog znaka rezultat će biti pozitivan (+), a kada imaju različite znakove rezultat će biti negativan (-).

Na primjer:

a) (a + b) _* (a + b)

= a ² + ab + ab + b ²

= a ² + 2ab + b ².

b) (a + b) _* (a - b)

= a ² - ab + ab - b ²

= a ² - b ².

c) (a - b) _* (a - b)

= a ² - ab - ab + b ²

= a ² - 2ab + b ².

U podjelama

Kad želite smanjiti dva polinoma kroz podjelu, morate pronaći treći polinom koji, pomnožen s drugim (djeliteljem), rezultira prvim polinomom (dividendom).

Za to se moraju naručiti dijelovi dividende i djelitelja s lijeva na desno, tako da su varijable u obje u istom redoslijedu.

Tada se provodi podjela, počevši od prvog termina na lijevoj strani dividende do prvog termina na lijevoj strani dijelitelja, uvijek uzimajući u obzir znakove svakog termina.

Na primjer, smanjite polinom: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² i ² + 4xy ³ - 15y ^{4 tako} da ga dijelite na polinom: -5x ² + 4xy + 3y ².

Dobivena je polinom -2 x ² + 8xy - 5y ².

Riješene vježbe

Prva vježba

Smanjite pojmove zadanog algebrskog izraza:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab.

Riješenje

Primjenjuje se komutacijsko svojstvo zbrajanja, grupirajući pojmove koji imaju iste varijable:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ²) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Tada se primjenjuje distribucijsko svojstvo množenja:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Konačno, pojednostavljeni su dodavanjem i oduzimanjem koeficijenata svakog pojma:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25a ² - 14ab - 4.

Druga vježba

Pojednostavite produkt sljedećih polinoma:

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7 xy ²).

Riješenje

Svaki se pojam prvog polinoma množi s drugim uzimajući u obzir da su znakovi pojmova različiti; stoga će rezultat njegovog množenja biti negativan, kao i da se moraju primijeniti zakoni eksponenata.

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7xy ²)

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴.

Reference

1. Angel, AR (2007). Elementarna algebra. Pearson Education,.
2. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementarna i srednja algebra: kombinirani pristup. Florida: Cengage Learning.
4. Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
5. Vigil, C. (2015). Algebra i njezine primjene.