UVJETNA VJEROJATNOST: FORMULA I JEDNADŽBE, SVOJSTVA, PRIMJERI - DUDÁS

Uvjetna vjerojatnost je mogućnost pojave određenog događaja, s obzirom da još javlja kao uvjet. Te dodatne informacije mogu (ili ne moraju) mijenjati percepciju da će se nešto dogoditi.

Na primjer, možemo se zapitati: "Kolika je vjerojatnost da će danas kiši, s obzirom na to da dva dana nije padala kiša?" Događaj za koji želimo znati vjerojatnost je da danas pada kiša, a dodatne informacije koje bi uvjetovale odgovor su da "dva dana nije padala kiša".

Slika 1. Vjerojatnost da će danas kiši s obzirom na to da je jučer kišilo također je primjer uvjetne vjerojatnosti. Izvor: Pixabay.

Neka se prostor vjerojatnosti sastoji od Ω (uzorak prostora), ℬ (slučajni događaji) i P (vjerojatnost svakog događaja), plus događaji A i B koji pripadaju ℬ.

Uvjetna vjerojatnost nastanka A s obzirom na to da se dogodio B, a koji je označen kao P (A│B), definira se kako slijedi:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A i B) / P (B)

Gdje je: P (A) vjerojatnost pojave A, P (B) je vjerojatnost događaja B i razlikuje se od 0, a P (A∩B) je vjerojatnost sjecišta između A i B, tj., vjerojatnost da su se dogodila oba događaja (zajednička vjerojatnost).

Ovo je izraz za Bayesov teorem primijenjen na dva događaja, koji je 1763. godine predložio engleski teolog i matematičar Thomas Bayes.

Svojstva

-Sva uvjetna vjerojatnost je između 0 i 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

- Vjerojatnost da će se dogoditi A, s obzirom da se navedeni događaj dogodi, očito je 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Ako su dva događaja isključiva, odnosno događaji koji se ne mogu istovremeno dogoditi, onda je uvjetna vjerojatnost da se jedan od njih dogodi 0, jer je sjecište nula:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Ako je B podskup A, tada je i uvjetna vjerojatnost 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Važno

P (A│B) općenito nije jednak P (B│A), stoga moramo biti oprezni da ne izmjenjujemo događaje prilikom pronalaženja uvjetne vjerojatnosti.

Opće pravilo množenja

Mnogo puta želite pronaći zajedničku vjerojatnost P (A∩B), a ne uvjetnu vjerojatnost. Zatim, kroz sljedeću teoremu imamo:

P (A∩B) = P (A i B) = P (A│B). P (B)

Teorem se može proširiti za tri događaja A, B i C:

P (A∩B∩C) = P (A i B i C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

A za različite događaje, poput A ₁, A ₂, A ₃ i više, može se izraziti na sljedeći način:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n) = P (A ₁). P (A ₂ │A ₁). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂)… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1)

Ako se događaji događaji u slijedu i kroz različite faze, prikladno je podatke organizirati u dijagramu ili tablici. To olakšava vizualizaciju opcija dostizanja tražene vjerojatnosti.

Primjeri su dijagram stabla i tablica nepredviđenih stanja. Iz jedne od njih možete graditi drugu.

Primjeri uvjetne vjerojatnosti

Pogledajmo neke situacije u kojima su vjerojatnosti jednog događaja izmijenjene pojavom drugog:

- Primjer 1

U slatkoj trgovini se prodaju dvije vrste kolača: jagoda i čokolada. Registriranjem sklonosti 50 klijenata oba spola utvrđene su sljedeće vrijednosti:

-27 žena, od kojih 11 preferira kolač od jagoda i 16 čokolada.

-23 muškarci: 15 odabiru čokoladu i 8 jagoda.

Vjerojatnost da kupac odabere čokoladni kolač može se odrediti primjenom Laplaceovog pravila prema kojem je vjerojatnost bilo kojeg događaja:

P = broj povoljnih događaja / ukupan broj događaja

U ovom slučaju od 50 kupaca ukupno 31 preferira čokoladu, pa bi vjerovatnoća bila P = 31/50 = 0,62. Odnosno, 62% kupaca preferira čokoladni kolač.

Ali bi li bilo drugačije da je klijent žena? To je slučaj uvjetne vjerojatnosti.

Tabela nepredviđenih događaja

Ako se koristi ovakva tablica nepredviđenih stanja, zbrojevi se lako prikazuju:

Tada se promatraju povoljni slučajevi i primjenjuje Laplasovo pravilo, ali najprije definiramo događaje:

-B je događaj "ženskog kupca".

- Žena je događaj "preferira čokoladni kolač".

Idemo do stupca s oznakom "žene" i tamo vidimo da je ukupno 27.

Tada se povoljan slučaj traži u redu "čokolada". Ima 16 ovih događaja, stoga je vjerojatnost tražena izravno:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% ženskih kupaca preferira čokoladni kolač.

Ova vrijednost odgovara kad je uspoređujemo s početno zadanom definicijom uvjetne vjerojatnosti:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Obavezno koristimo Laplasovo pravilo i vrijednosti tablice:

P (B) = 27/50

P (A i B) = 16/50

Gdje je P (A i B) vjerojatnost da kupac preferira čokoladu i da je žena. Sada su vrijednosti zamijenjene:

P (A│B) = P (A i B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

I dokazano je da je rezultat isti.

- Primjer 2

U ovom primjeru vrijedi pravilo množenja. Pretpostavimo da su u trgovinama izložene hlače u tri veličine: male, srednje i velike.

U grupi s ukupno 24 gaće, od kojih je 8 svake veličine i sve su pomiješane, kolika bi bila vjerojatnost da ćete ih izdvojiti i da su obje male?

Jasno je da vjerojatnost skidanja malog hlača iz prvog pokušaja iznosi 8/24 = 1/3. Sada je drugo vađenje uvjetovano prvim događajem, jer prilikom skidanja par hlača nema više 24, već 23. A ako se skinu male hlače, ima ih 7 umjesto 8.

Event A povlači jednu malu hlaču, nakon što je izvukao još jednu u prvom pokušaju. A događaj B je onaj s malim hlačama prvi put. Tako:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Na kraju, koristeći pravilo množenja:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Vježba riješena

U studiji točnosti komercijalnih letova dostupni su sljedeći podaci:

-P (B) = 0,83, je vjerojatnost da zrakoplov poletje na vrijeme.

-P (A) = 0,81, je vjerojatnost slijetanja na vrijeme.

-P (B∩A) = 0,78 je vjerojatnost da let stigne na vrijeme polijetanjem na vrijeme.

Od njega se traži da izračuna:

a) Kolika je vjerojatnost da će avion sletjeti na vrijeme s obzirom da je poletio na vrijeme?

b) Je li gornja vjerojatnost jednaka vjerojatnosti koju ste napustili na vrijeme ako ste uspjeli sletjeti na vrijeme?

c) I na kraju: kolika je vjerojatnost da će stići na vrijeme s obzirom da nije napustila na vrijeme?

Slika 2. Točnost na komercijalnim letovima je važna, jer kašnjenja stvaraju gubitke u milijunima dolara. Izvor: Pixabay.

Rješenje za

Za odgovor na pitanje koristi se definicija uvjetne vjerojatnosti:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A i B) / P (B) = 0,78 /0,83 = 0,9398

Rješenje b

U ovom slučaju se izmjenjuju događaji u definiciji:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A i B) / P (A) = 0,78 /0,81 = 0,9630

Imajte na umu da se ta vjerojatnost malo razlikuje od prethodne, kao što smo prethodno istaknuli.

Rješenje c

Vjerojatnost ne odlaska na vrijeme je 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, nazvat ćemo je P (B ^C), jer je to komplementarni događaj koji treba poletjeti na vrijeme. Tražena uvjetna vjerojatnost je:

P (A│B ^C) = P (A∩B ^C) / P (B ^C) = P (A i B ^C) / P (B ^C)

S druge strane:

P (A∩B ^C) = P (slijetanje na vrijeme) - P (slijetanje na vrijeme i polijetanje na vrijeme) = 0,81-0,78 = 0,03

U ovom slučaju, tražena uvjetna vjerojatnost je:

P (A│B ^C) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Reference

Canavos, G. 1988. Vjerojatnost i statistika: Primjene i metode. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Vjerojatnost i statistika za inženjerstvo i znanost. 8.. Izdanje. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Serija Schaum: Vjerojatnost. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teorija vjerojatnosti. Uredništvo Limusa.
Walpole, R. 2007. Vjerojatnost i statistika za inženjering i znanosti. Pearson.
Wikipedia. Uvjetna vjerojatnost. Oporavilo sa: es.wikipedia.org.

UVJETNA VJEROJATNOST: FORMULA I JEDNADŽBE, SVOJSTVA, PRIMJERI - DUDÁS - 2025