KRUŽNE PERMUTACIJE: DOKAZ, PRIMJERI, RIJEŠENE VJEŽBE - DUDÁS - 2026

U kružne permutacije su različite vrste grupacija svih elemenata skupa, kad su se biti raspoređeni u krug. U ovoj vrsti permutacije red je važan i elementi se ne ponavljaju.

Na primjer, pretpostavimo da želite znati broj različitih nizova znamenki jedan do četiri, postavljajući svaki broj u jednu od vrhova romba. To bi bilo ukupno 6 aranžmana:

Ne treba zbuniti da je broj jedan u gornjem položaju romba u svim slučajevima kao fiksni položaj. Kružne permutacije ne mijenjaju se rotacijom niza. Slijede jedna ili ista permutacija:

Demo i formule

Na primjeru različitih četveroznamenkastih kružnih nizova smještenih u vrhovima romba, broj nizova (6) može se naći ovako:

1- Bilo koja od četiri znamenke uzima se kao početna točka u bilo kojem od vrhova i prelazi se na sljedeću točku. (nije važno je li okrenut u smjeru kazaljke na satu ili obrnuto)

2- Ostale su 3 opcije za odabir drugog vrha, a zatim postoje dvije mogućnosti za odabir trećeg vrha i, naravno, postoji samo jedna opcija odabira za četvrti vrh.

3- Dakle, broj kružnih permutacija, označen s (4 - 1) P (4 - 1), dobiva se proizvodom opcija izbora u svakom položaju:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 različitih četveroznamenkasti kružni niz.

Općenito, broj kružnih permutacija koje je moguće postići sa svih n elemenata skupa je:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Imajte na umu da (n - 1)! Poznat je kao n faktorski i skraćuje proizvod svih brojeva od broja (n - 1) do broja jedan, uključujući.

Primjeri

Primjer 1

Na koliko različitih načina 6 ljudi mora sjediti za okruglim stolom?

Želite pronaći broj različitih načina na koje 6 ljudi može sjediti za okruglim stolom.

Broj načina za sjedenje = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Broj načina sjedenja = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 različitih načina

Primjer 2

Na koliko različitih načina 5 ljudi mora biti smješteno na vrhovima pentagona?

Traži se način na koji se 5 osoba može smjestiti u svakoj od vrhova pentagona.

Broj načina kako biti lociran = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Broj načina da se lociramo = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 različita načina

Riješene vježbe

- Vježba 1

Zlatar nabavlja 12 različitih dragocjenog kamenja kako bi ih smjestio u točke sata koje priprema u ime kraljevske kuće jedne europske zemlje.

a) Na koliko različitih načina mora rasporediti kamenje na satu?

b) Koliko različitih oblika ima ako je kamen koji ide do 12 sati jedinstven?

c) Koliko različitih oblika ako je kamen na 12 jedinstven, a kamenje na ostale tri kardinalne točke, 3, 6 i 9; Postoje li tri posebna kamenja koja se mogu razmijeniti, a ostatak sati je dodijeljen ostatku kamenja?

rješenja

a) zahtijeva se broj načina da se svi kamenčići rasporede na obodu sata; to jest broj kružnih aranžmana koji uključuju sve dostupno kamenje.

Broj rasporeda na satu = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Broj ispravki na satu = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Broj aranžmana na satu = 39976800 različitih oblika

b) Pita se koliko različitih načina naručivanja postoji, znajući da je kamen na ručici od 12 sati jedinstven i fiksiran; to jest, broj kružnih aranžmana koji su uključivali preostalih 11 kamena.

Broj rasporeda na satu = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Broj ispravki na satu = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Broj aranžmana na satu = 3.628.800 različitih oblika

c) Konačno, traži se broj načina da se naruči sve kamenje, osim kamena od 12 sati koji je učvršćen, 3, 6 i 9 kamenja koji imaju 3 kamena koji će biti dodijeljeni jedno drugom; to jest 3! mogućnosti rasporeda i broj kružnih aranžmana koji uključuju preostalih 8 kamena.

Broj ispravki u satu = 3! * = 3! * (8–1)!

Broj aranžmana u satu = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Broj rasporeda na satu = 241920 različitih oblika

- Vježba 2

Upravni odbor tvrtke sastoji se od 8 članova i oni se sastaju za ovalnim stolom.

a) Koliko različitih oblika rasporeda oko stola ima odbor?

b) Pretpostavimo da predsjednik sjedi na čelu stola u bilo kojem aranžmanu odbora, koliko različitih oblika uređenja ima ostatak odbora?

c) Pretpostavimo da potpredsjednik i tajnik sjede s obje strane predsjednika u bilo kojem aranžmanu odbora. Koliko različitih oblika uređenja ima ostatak odbora?

rješenja

a) Želimo pronaći više različitih načina kako 12 članova odbora rasporediti oko ovalnog stola.

Broj aranžmana odbora = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Broj aranžmana odbora = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Broj aranžmana odbora = 39976800 različitih oblika

b) Budući da je predsjednik odbora smješten u fiksnom položaju, traži se broj načina da se narednih 11 članova odbora naredi oko ovalnog stola.

Broj aranžmana odbora = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Broj aranžmana odbora = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Broj aranžmana odbora = 3.628.800 različitih oblika

c) Predsjednik je smješten u fiksnom položaju, a sa strane su potpredsjednik i tajnik s dvije mogućnosti uređenja: potpredsjednik s desne strane i tajnik s lijeve strane ili potpredsjednik s lijeve strane i sekretar s desne strane. Tada želite pronaći više različitih načina kako preostalih 9 članova odbora rasporediti oko ovalnog stola i pomnožiti s dva oblika aranžmana koje potpredsjednik i tajnica imaju.

Broj aranžmana odbora = 2 * = 2 *

Broj aranžmana odbora = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Broj aranžmana odbora = 80640 različitih oblika

Reference

1. Boada, A. (2017). Korištenje permutacije s ponavljanjem kao podučavanje eksperimenata. Časopis Vivat Academia. Oporavak od researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Vjerojatnost i statistika. Primjene i metode. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Čaša, G.; Stanley, J. (1996). Statističke metode koje se ne primjenjuju u društvenim znanostima. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistika. Četvrto izd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ka, Ka. (2007). Vjerojatnost i statistika za inženjere i znanstvenike. Osmo izd. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistika koja se primjenjuje na poslovanje i gospodarstvo. Treće izd. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutacija. Oporavilo s en.wikipedia.org.