KOMPLEMENTARNI DOGAĐAJI: OD ČEGA SE SASTOJE I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Na dodatni događaji su definirani kao bilo koju grupu međusobno isključivih događaja jedni druge, gdje je sindikat od njih je u stanju u potpunosti pokriti prostor uzorak ili moguće slučajeve eksperimentiranja (su iscrpan).

Njihovo sjecište rezultira praznim skupom (∅). Zbroj vjerojatnosti dvaju komplementarnih događaja jednak je 1. Drugim riječima, dva događaja s ovom karakteristikom u potpunosti pokrivaju mogućnost događaja eksperimenta.

Izvor: pexels.com

Koji su komplementarni događaji?

Vrlo koristan generički slučaj za razumijevanje ove vrste događaja je bacanje kockica:

Pri definiranju prostora uzorka imenovani su svi mogući slučajevi koje eksperiment nudi. Ovaj skup poznat je kao svemir.

Uzorak prostora (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Opcije koje nisu navedene u prostoru uzorka nisu dio mogućnosti eksperimenta. Na primjer {pojavljuje se broj} Ima vjerojatnost nula.

Prema cilju eksperimentiranja, postavljaju se skupovi i podskupine ako je potrebno. Zadata postavka koju treba koristiti također se određuje u skladu s ciljem ili parametrom koji se proučava:

O: {Unesite parni broj} = {2, 4, 6}

B: {Dobivanje neparnog broja} = {1, 3, 5}

U tom slučaju i B su komplementarne događanja. Budući da su oba skupa međusobno isključiva (neparni broj koji zauzvrat ne može izaći) i sjedinjenje tih skupa obuhvaća cjelokupni prostor uzorka.

Ostale moguće podskupine u gornjem primjeru su:

C: {Unesite glavni broj} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Setovi A, B i C pišu se u opisnom i analitičkom zapisu. Za skup D korištena je algebarska notacija, a mogući rezultati koji odgovaraju pokusu opisani su u Analitičkoj notaciji.

U prvom primjeru se opaža kako su A i B komplementarni događaji

O: {Unesite parni broj} = {2, 4, 6}

B: {Dobivanje neparnog broja} = {1, 3, 5}

Sljedeći aksiomi vrijede:

1. AUB = S; Ujedinjenje dva komplementarna događaja jednaka je uzorku prostora
2. A ∩B = ∅ ; Sjecište dva komplementarna događaja jednaka je praznom skupu
3. A '= B ᴧ B' = A; Svaki je podskup jednak kompletu njegovog homologa
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Presijecajte skup s njegovim komplementom jednako je prazan
5. A 'UA = B' UB = S; Spajanje skupa s njegovim komplementom jednak je prostoru uzorka

U statistici i vjerojatnim studijama komplementarni događaji dio su cijele teorije i vrlo su česti među operacijama provedenim na ovom području.

Da biste saznali više o komplementarnim događajima, potrebno je razumjeti određene pojmove koji će ih pomoći konceptualno definirati.

Koji su događaji?

To su mogućnosti i događaji proizašli iz eksperimentiranja, sposobni ponuditi rezultate u svakom svom ponavljanju. U događaji generiraju podaci koje treba snimiti kao elementi skupova i podskupina, trendovi u tim podacima su razlog za studije vjerojatnosti.

Primjeri događaja su:

• Novac je istaknuo glave
• Utakmica je rezultirala remijem
• Kemikalija je reagirala u 1,73 sekunde
• Brzina u maksimalnoj točki iznosila je 30 m / s
• Matica je označila broj 4

Što je dodatak?

Što se tiče teorije skupova. Dopuna se odnosi na dio uzorka prostora koji treba biti dodana na skup za to da obuhvati svoj svemir. To je sve što nije dio cjeline.

Poznati način označavanja komplementa u teoriji skupova je:

Dopuna A

Vennov dijagram

Izvor: pixabay.com

To je grafički - sadržajna analitička shema, koja se široko koristi u matematičkim operacijama koje uključuju skupove, pod-skupove i elemente. Svaki je skup predstavljen velikim slovom i ovalnom figurom (ova karakteristika nije obvezna u njegovoj upotrebi) koja sadrži svaki pojedini njegov element.

Na dodatni događaji mogu se vidjeti izravno Venn dijagrama, kao njegov grafički način da se identificiraju odgovarajuće riđovke svakom setu.

Jednostavno potpuno vizualiziranje okoline skupa, izostavljanje njegove granične i unutarnje strukture omogućava da se definiranju nadopunjuje proučeni skup.

Primjeri komplementarnih događaja

Primjeri komplementarnih događaja su uspjeh i poraz u slučaju kada jednakost ne može postojati (igra bejzbola).

Booleove varijable su komplementarni događaji: Točno ili netočno, isto tako ispravno ili pogrešno, zatvoreno ili otvoreno, uključeno ili isključeno.

Komplementarne vježbe događaja

Vježba 1

Neka je S svemirski skup definiran svim prirodnim brojevima manjim ili jednakim desetima.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Definirani su sljedeći podskupovi S

H: {Prirodni brojevi manji od četiri} = {0, 1, 2, 3}

J: {Množine tri} = {3, 6, 9}

K: {Višestruki od pet} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Prirodni brojevi veći ili jednaki četiri} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Odlučiti:

Koliko komplementarnih događaja može se stvoriti povezivanjem parova podskupina S ?

Prema definiciji komplementarnih događaja, parovi koji ispunjavaju zahtjeve identificiraju se (međusobno se isključuju i pokrivaju uzorak prostora prilikom spajanja). Sljedeći parovi podskupina su komplementarni događaji :

• H i N
• J i M
• L i K

Vježba 2

Pokažite da: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; Presjek između skupova daje zajedničke elemente između obaju operantnih skupova. Na ovaj je način 5 jedini zajednički element između M i K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Budući da su L i K komplementarni, ispunjen je treći gore opisani aksiom (Svaki podskup je jednak komplementu njegovog homologa)

Vježba 3

Definiraj: '

J ∩ H = {3}; Na sličan način kao i prvi korak prethodne vježbe.

(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Ove operacije su poznate kao kombinirane i obično se tretiraju Vennovim dijagramom.

' = {0, 1, 2}; Definiran je komplement kombinirane operacije.

Vježba 4

Dokažite da: { ∩ ∩} '= ∅

Sastavljena operacija opisana unutar kovrčavih zagrada odnosi se na sjecišta između sjedinjenja komplementarnih događaja. Na ovaj način nastavljamo s provjerom prvog aksioma (Ujedinjenje dva komplementarna događaja jednaka je uzorku prostora).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; Spajanje i sjecište skupa sa sobom stvara isti skup.

Zatim; S '= ∅ Po definiciji skupova.

Vježba 5

Definirajte 4 sjecišta između podskupova, čiji se rezultati razlikuju od praznog skupa (∅).

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

Reference

1. ULOGA STATISTIČKIH METODA U RAČUNALSKOJ ZNANOSTI I BIOINFORMATIKA. Irina Arhipova. Latvijsko poljoprivredno sveučilište, Latvija.
2. Statistika i procjena dokaza za forenzičke znanstvenike. Drugo izdanje. Colin GG Aitken. Matematička škola. Sveučilište u Edinburghu, Velika Britanija
3. OSNOVNA TEORIJA PROBABILNOSTI, Robert B. Ash. Odjel za matematiku. University of Illinois
4. Elementarna STATISTIKA. Deseto izdanje. Mario F. Triola. Boston St.
5. Matematika i inženjerstvo u računalnim znanostima. Christopher J. Van Wyk. Institut za računalne znanosti i tehnologiju. Nacionalni biro za norme. Washington, DC 20234
6. Matematika za informatiku. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Odjel za matematiku i računalnu znanost i AI laboratoriju, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies