Aditiv raspadanje jednog pozitivni cijeli broj sastoji se od to izražava kao zbroj dvaju ili više brojeva. Dakle, imamo da se broj 5 može izraziti kao 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 ili 5 = 1 + 2 + 2. Svaki od ovih načina pisanja broja 5 ono ćemo nazvati dodatnom dekompozicijom.

Ako obratimo pažnju možemo vidjeti da izrazi 5 = 2 + 3 i 5 = 3 + 2 predstavljaju isti sastav; obojica imaju isti broj. Međutim, samo radi praktičnosti, svaki se dodatak obično piše prema kriteriju od najnižeg do najvišeg.

Aditivno raspadanje

Kao još jedan primjer možemo uzeti broj 27, koji možemo izraziti kao:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Aditivno razlaganje je vrlo koristan alat koji nam omogućava da pojačamo svoje znanje o brojevnim sustavima.

Kanonsko aditivno razlaganje

Kad imamo brojeve s više od dvije znamenke, poseban način njihovog raspadanja je u množinama 10, 100, 1000, 10 000 itd., Koje to čine. Ovakav način pisanja bilo kojeg broja naziva se kanonskim aditivnim rastavljanjem. Na primjer, broj 1456 može se rastaviti na sljedeći način:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Ako imamo broj 20 846 295, njegovo kanonsko dodavanje će biti:

20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Zahvaljujući ovom dekompoziciji, možemo vidjeti da vrijednost određene znamenke daje poziciju koju ona zauzima. Uzmimo za primjer brojeve 24 i 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Ovdje možemo vidjeti da u 24 dva imaju vrijednost 20 jedinica, a 4 vrijednost 4 jedinice; s druge strane, u 42 4 ima vrijednost 40 jedinica, a u dvije dvije jedinice. Dakle, iako oba broja koriste iste znamenke, njihove su vrijednosti potpuno različite zbog položaja koji zauzimaju.

Prijave

Jedna od primjena koju možemo dati aditivnom razgradnji je u određenim vrstama dokaza, u kojima je vrlo korisno vidjeti pozitivni cijeli broj kao zbroj drugih.

Primjer teorema

Uzmimo za primjer slijedeću teoremu s njezinim dokazima.

- Neka je Z četveroznamenkasti broj, tada je Z djeljiv sa 5 ako je njegova odgovarajuća vrijednost jedinicama jednaka nuli ili pet.

Demonstracija

Sjetimo se što je podjela. Ako imamo cjelobrojne brojeve "a" i "b", kažemo da "a" dijeli "b" ako postoji cijeli broj "c" takav da je b = a * c.

Jedno od svojstava djeljivosti govori nam da ako su "a" i "b" djeljivi sa "c", tada je oduzimanje i "ab" djeljivo.

Neka je Z četveroznamenkasti broj; prema tome, Z možemo napisati kao Z = ABCD.

Pomoću kanoničke aditivne dekompozicije imamo:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Jasno je da je A * 1000 + B * 100 + C * 10 djeljiv sa 5. Zbog toga imamo da je Z djeljivo sa 5 ako je Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) djeljiv sa 5.

Ali Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D i D je jednocifren broj, tako da je jedini način da se dijeli s 5 da bude 0 ili 5.

Stoga je Z djeljiv s 5 ako je D = 0 ili D = 5.

Imajte na umu da, ako Z ima n znamenki, dokaz je potpuno isti, mijenja se samo da bismo sada napisali Z = A ₁ A ₂… A _n i cilj bi bio dokazati da je A _n jednak nuli ili pet.

particije

Kažemo da je podjela pozitivnog cijelog broja jedan od načina da možemo zapisati broj kao zbroj pozitivnih cijelih brojeva.

Razlika između aditivnog razlaganja i particije je u tome što, dok prva traži da se ona barem može rastaviti na dva dodatka ili više, particija nema ovo ograničenje.

Dakle, imamo sljedeće:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Navedene su particije od 5.

Odnosno, imamo da je svaka aditivna razgradnja podjela, ali nije svaka particija nužno aditivna razgradnja.

Teorija brojeva, temeljna aritmetička teorija jamči da svaki cijeli broj može biti jedinstveno napisan kao proizvod prašuma.

Prilikom proučavanja particija, cilj je utvrditi na koliko se načina pozitivni cijeli broj može zapisati kao zbroj ostalih cijelih brojeva. Stoga definiramo funkciju particije kao što je prikazano u nastavku.

Definicija

Funkcija particije p (n) definirana je kao broj načina na koje se pozitivni cijeli broj n može zapisati kao zbroj pozitivnih cijeli brojeva.

Vraćajući se primjeru 5, imamo sljedeće:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Dakle, p (5) = 7.

Grafika

I particije i aditivne dekompozicije broja n mogu se prikazati geometrijski. Pretpostavimo da imamo aditivno raspadanje n. U ovom raščlanjivanju dodataka se može organizirati tako da su članovi zbroja raspoređeni od najmanje do najvećih. Dakle, u redu:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r s

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r.

Ovu dekompoziciju možemo graficirati na sljedeći način: u prvom redu označavamo _1- točke, zatim u sljedećem označavamo _2- točke i tako dalje dok ne dosegnemo _r.

Uzmimo za primjer broj 23 i njegovo sljedeće razlaganje:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Naručimo ovo raspadanje i imamo:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Njegov odgovarajući graf bi bio: