DERIVAT KOTANGENTA: PRORAČUN, DOKAZ, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Derivat kotangens jednaka nasuprot kvadratom kosekant „-Csc ² ”. Ova se formula pokorava zakonima derivacije po definiciji i diferencijaciji trigonometrijskih funkcija. Označeno je kao što slijedi:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Tamo gdje "du" simbolizira izraz izveden iz funkcije argumenta u odnosu na neovisnu varijablu.

Izvor: Pixabay.com

Kako se izračunava?

Postupak razvoja ovih derivata vrlo je jednostavan. Dovoljno je samo ispravno identificirati argument i vrstu funkcije koju predstavlja.

Na primjer, izraz Ctg (f / g) u svom argumentu ima podjelu. Ovo će zahtijevati diferencijaciju u odnosu na U / V, nakon što se razvije derivat kotangenta.

Kotangens je uzajamna tangenta. Algebracijski to znači da:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Netočno je reći da je kotangensna funkcija "inverzna" tangente. To je zato što je funkcija inverzne tangente po definiciji lučna tangenta.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Prema pitagorovskoj trigonometriji kotangens je uključen u sljedeće odjeljke:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Prema analitičkoj trigonometriji, ona odgovara na sljedeće identitete:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Karakteristike kotangens funkcije

Neophodno je analizirati različite karakteristike funkcije f (x) = ctg x kako bi se definirali aspekti potrebni za proučavanje njene različitosti i primjene.

Okomite asimptote

Funkcija kotangenta nije definirana na vrijednostima zbog kojih izraz "Senx" postaje nula. Zbog svog ekvivalenta Ctg x = (cos x) / (sin x), on će imati neodređenost u svim "nπ" s n koji pripadaju cijelim brojevima.

Odnosno, u svakoj od tih vrijednosti x = nπ postojat će vertikalna asimptota. Kako se približavate s lijeve strane, vrijednost kotangenta brzo će se smanjivati, a kako se približavate s desne strane, funkcija će se povećavati u nedogled.

Domena

Domena funkcije kotangenta izražava se skupom {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Ovo se čita kao "x koji pripada skupu realnih brojeva tako da je x različit od nπ, pri čemu n pripada skupu cjelobrojnih brojeva".

Rang

Raspon funkcije kotangenta je od minus do plus beskonačnost. Stoga se može zaključiti da je njegov rang skup realnih brojeva R.

Frekvencija

Funkcija kotangenta je periodična, a njeno razdoblje je jednako π. Na taj se način ispunjava jednakost Ctg x = Ctg (x + nπ), gdje n pripada Z.

Ponašanje

To je neparna funkcija, jer je Ctg (-x) = - Ctg x. Na taj je način poznato da funkcija predstavlja simetriju u odnosu na koordinatno ishodište. Također pokazuje smanjenje svakog intervala smještenog između dvije uzastopne okomite asimptote.

On nema maksimalne ili minimalne vrijednosti zbog činjenice da njegove aproksimacije okomitih asimptota predstavljaju ponašanja u kojima se funkcija povećava ili smanjuje u nedogled.

Nulte ili korijeni kotangenske funkcije nalaze se u neparnim množenjima π / 2. To znači da Ctg x = 0 vrijedi za vrijednosti oblika x = nπ / 2 s n neparnim cijelim brojevima.

Demonstracija

Postoje dva načina dokazivanja derivacije funkcije kotangenta.

Trigonometrijski diferencijalni dokaz

Dokazana je izvedenica kotangens funkcije iz njezina ekvivalenta u sinusima i kosinusima.

Tretira se kao derivat podjele funkcija

Nakon dobivanja čimbenici se grupiraju i cilj je oponašati pitagorejski identitet

Zamjena identiteta i uzajamnost, izraz

Dokaz po definiciji izvedenice

Sljedeći izraz po definiciji odgovara izvedenici. Tamo gdje se udaljenost između 2 točke funkcije približava nuli.

Zamjenu kotangenta imamo:

Za zbroj argumenata i uzajamnosti primjenjuju se identiteti

Tradicionalno se koristi udio brojača

Eliminirajući suprotne elemente i uzimajući zajednički faktor, dobivamo

Primjenjujući pitagorejski identitet i reciprocitet moramo

Elementi ocijenjeni u x su konstantni s obzirom na granicu, pa mogu ostaviti argument toga. Tada se primjenjuju svojstva trigonometrijskih granica.

Ograničava se procjena

Zatim se uzima u obzir dok se ne postigne željena vrijednost

Derivat kotangenta je time prikazan kao suprotnost kvadrata kosecanta.

Riješene vježbe

Vježba 1

Na temelju funkcije f (x) definirajte izraz f '(x)

Primjenjuje se odgovarajuća izvedba poštujući lančano pravilo

Izvođenje argumenta

Ponekad je potrebno primijeniti recipročni ili trigonometrijski identitet za prilagodbu rješenja.

Vježba 2

Definirajte diferencijalni izraz koji odgovara F (x)

Prema formuli derivacije i poštivanju lančanog pravila

Argument je izveden, dok ostatak ostaje isti

Izvođenje svih elemenata

Radeći na tradicionalan način, proizvodi iste baze

Dodaju se jednaki elementi i ekstrahira se zajednički faktor

Znakovi su pojednostavljeni i upravljani. Pružajući potpunu izvedenom izrazu

Reference

1. Trigonometrijska serija, svezak 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Izračun jedinstvene varijable. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. studenog 2008
3. Izračun s trigonometrijom i analitičkom geometrijom. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Publishers, 1988
4. Multivarijabilna analiza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. prosinca. 2010
5. Dinamika sustava: modeliranje, simulacija i kontrola mehatronskih sustava. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. ožujka 2012
6. Izračun: Matematika i modeliranje. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. siječnja 1999