KONSTANTA INTEGRACIJE: ZNAČENJE, PRORAČUN I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Konstanta integracije je dodana vrijednost za izračun antiderivatives ili integrali, ona služi da predstavljaju rješenja koja čine primitivni o funkciji. Izražava nejasnu dvosmislenost u kojoj bilo koja funkcija ima neograničen broj primitiva.

Na primjer, ako uzmemo funkciju: f (x) = 2x + 1 i dobijemo njezinu antiderivativu:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C; Gdje C je konstanta integracije i predstavlja grafički vertikalni prijevod između beskonačne mogućnosti primitivnog. Tačno je reći da je (x ² + x) jedan od primitiva f (x).

Izvor: autor

Slično možemo definirati (x ² + x + C) kao primitiv f (x).

Obrnuto svojstvo

Može se primijetiti da se pri izvedbi izraza (x ² + x) dobiva funkcija f (x) = 2x + 1. To je zbog inverznog svojstva koje postoji između izvedbe i integracije funkcija. Ovo svojstvo omogućuje dobivanje formula integracije počevši od diferencijacije. Što omogućava provjeru integrala pomoću istih derivata.

Izvor: autor

Međutim (x ² + x) nije jedina funkcija čija je izvedenica jednaka (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C) / dx = 2x + 1

Gdje 1, 2, 3 i 4 predstavljaju posebne primitive f (x) = 2x + 1. dok 5 predstavlja neodređeni ili primitivni integral od f (x) = 2x + 1.

Izvor: autor

Primitivi funkcije postižu se antiderivacijom ili integralnim postupkom. Gdje će F biti primitiv f ako je istina sljedeće

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = konstanta integracije
• F '(x) = f (x)

Može se vidjeti da funkcija ima jedan derivat, za razliku od njegovih beskonačnih primitivaca koji su rezultat integracije.

Neodređeni integral

∫ f (x) dx = F (x) + C

Odgovara obitelji krivulja s istim uzorkom, koje doživljavaju neskladnost u vrijednosti slika svake točke (x, y). Svaka funkcija koja ispunjava ovaj obrazac bit će individualni primitiv, a skup svih funkcija poznat je kao neodređeni integral.

Vrijednost konstante integracije bit će ona koja u praksi razlikuje svaku funkciju.

Konstanta integracije sugerira vertikalni pomak u svim grafikonima predstavljaju primitivci u funkciji. Tamo gdje se opaža paralelizam među njima i činjenica da je C vrijednost pomaka.

Prema uobičajenim praksama, konstanta integracije označena je slovom „C“ nakon dodavanja, mada je u praksi ravnodušno dodaje li se konstanta ili oduzima. Njegova stvarna vrijednost može se naći na različite načine pod različitim početnim uvjetima.

Ostala značenja konstante integracije

Već je raspravljano o tome kako se konstanta integracije primjenjuje u grani integralnog proračuna; Predstavlja obitelj krivulja koje definiraju neodređeni integral. Ali mnoge su druge znanosti i grane zadale vrlo zanimljive i praktične vrijednosti konstante integracije, što je olakšalo razvoj više studija.

U fizici konstanta integracije može uzeti više vrijednosti ovisno o prirodi podataka. Vrlo čest primjer je poznavanje funkcije V (t) koja predstavlja brzinu čestice u odnosu na vrijeme t. Poznato je da se pri izračunavanju primitiva V (t) dobiva funkcija R (t) koja predstavlja položaj čestice nasuprot vremenu.

Konstanta integracije će predstavljati vrijednost početne pozicije, koja je, u trenutku t = 0.

Na isti način, ako je poznata funkcija A (t) koja predstavlja ubrzanje čestice u odnosu na vrijeme. Primitiv A (t) rezultirat će funkcijom V (t), gdje će konstanta integracije biti vrijednost početne brzine V ₀.

U ekonomiji, integracijom dobivanjem primitiva troškovne funkcije. Konstanta integracije će predstavljati fiksne troškove. I tolike druge aplikacije koje zaslužuju diferencijalno i integralno računanje.

Kako se izračunava konstanta integracije?

Za izračunavanje konstante integracije uvijek će biti potrebno znati početne uvjete. Koji su zaduženi za utvrđivanje koji je od mogućih primitiva odgovarajući.

U mnogim se aplikacijama tretira kao neovisna varijabla u vremenu (t), gdje konstanta C preuzima vrijednosti koje definiraju početne uvjete određenog slučaja.

Uzmimo li početni primjer: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Važeći početni uvjet može biti uvjet da graf prolazi kroz određenu koordinatu. Na primjer, znamo da primitivni (x ² + x + C) prolazi kroz točku (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; ovo je opće rješenje

F (1) = 2

U ovoj jednakosti zamjenjujemo opće rješenje

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Odakle lako slijedi da je C = 0

Na taj način odgovarajući primitiv za ovaj slučaj je F (x) = x ² + x

Postoji nekoliko vrsta numeričkih vježbi koje djeluju s konstantima integracije. Zapravo, diferencijalno i integralno računanje ne prestaje se primjenjivati ​​u trenutnim istraživanjima. Na različitim akademskim razinama mogu se pronaći; od početnog izračuna, preko fizike, kemije, biologije, ekonomije, između ostalih.

Također je cijenjeno u istraživanju diferencijalnih jednadžbi, gdje konstanta integracije može uzeti različite vrijednosti i rješenja, a to zbog višestrukih izvedenica i integracija koje se u ovom pitanju provode.

Primjeri

Primjer 1

1. Topov koji se nalazi 30 metara visok ispaljuje projektil okomito prema gore. Zna se da je početna brzina projektila 25 m / s. Odlučiti:

• Funkcija koja definira položaj projektila s obzirom na vrijeme.
• Vrijeme leta ili trenutak vremena kada čestica padne o tlo.

Poznato je da je u pravokutnom kretanju jednoliko različito ubrzanje stalna vrijednost. To je slučaj lansiranja projektila, gdje će ubrzanje biti gravitacijsko

g = - 10 m / s ²

Također je poznato da je ubrzanje drugi derivat položaja, koji ukazuje na dvostruku integraciju u rezoluciji vježbe, dobivajući na taj način dvije konstante integracije.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Početni uvjeti vježbe pokazuju da je početna brzina V ₀ = 25 m / s. Ovo je brzina u trenutku vremena t = 0. Na ovaj se način postiže da:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ i C ₁ = 25

Sa definiranom funkcijom brzine

V (t) = -10t + 25; Sličnost se može primijetiti s formulom MRUV (V _f = V ₀ + axt)

Na homologni način, funkcija brzine integrirana je za dobivanje izraza koji definira položaj:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25T + C ₂ (položaj primitive)

Poznat je početni položaj R (0) = 30 m. Tada se izračunava određeni primitiv projektila.

R (0) = 30m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂. Gdje je C ₂ = 30

Primjer 2

1. Pronađite primitivni f (x) koji zadovoljava početne uvjete:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Sa informacijom drugog derivata f '' (x) = 4 započinje postupak antiderivacije

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Zatim, poznavajući uvjet f '(2) = 2, nastavljamo:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 i f '(x) = 4x - 8

Na isti način nastavljamo i za drugu konstantu integracije

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Početni uvjet f (0) = 7 je poznat i nastavljamo:

2 (0) ² - 8. (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 i f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ²; f '(0) = 6; f (0) = 3

Na sličan način kao u prethodnom problemu, definiramo prve derivate i izvornu funkciju iz početnih uvjeta.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ²) dx = (x ³ /3), + C ₁

Sa uvjetom f '(0) = 6 nastavljamo:

(0 ^3/3) = C ₁ -C6; Gdje je C ₁ -C6 i f „(x) = (x ³ /3), 6 +

Zatim druga konstanta integracije

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + + C 6x ₂

Početni uvjet f (0) = 3 je poznat i nastavljamo:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Gdje je C ₂ = 3

Tako dobivamo primitivno partikularno

f (x) = (x ⁴ /12) + + 3 6x

Primjer 3

1. Definirajte primitivne funkcije s obzirom na izvedenice i točku na grafu:

• dy / dx = 2x - 2 koja prolazi kroz točku (3, 2)

Važno je zapamtiti da se derivati ​​odnose na nagib crte tangente na krivulju u određenoj točki. Tamo gdje nije tačno pretpostaviti da graf derivata dotiče naznačenu točku, jer pripada grafu primitivne funkcije.

Na ovaj način diferencijalnu jednadžbu izražavamo na sljedeći način:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Primjena početnog stanja:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Dobiva se: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1 koji prolazi kroz točku (0, 2)

Diferencijalnu jednadžbu izražavamo na sljedeći način:

Primjena početnog stanja:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Dobivamo: f (x) = x ³ - x + 2

Predložene vježbe

Vježba 1

1. Pronađite primitivni f (x) koji zadovoljava početne uvjete:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Vježba 2

1. Balon koji se uspinje brzinom od 16 ft / s spušta vreću s pijeskom s visine od 64 ft iznad razine tla.

• Odredite vrijeme leta
• Kakav će biti vektor V _f kada padne na tlo?

Vježba 3

1. Na slici je prikazan grafikon vremena ubrzanja automobila koji se kreće u pozitivnom smjeru osi x. Automobil je putovao konstantnom brzinom od 54 km / h kada je vozač uključio kočnice kako bi se zaustavio u 10 sekundi. odrediti:

• Početna ubrzanja automobila
• Brzina automobila pri t = 5s
• Zamjena automobila tijekom kočenja

Izvor: autor

Vježba 4

1. Definirajte primitivne funkcije s obzirom na izvedenice i točku na grafu:

• dy / dx = x koji prolazi kroz točku (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1 koja prolazi kroz točku (0, 0)
• dy / dx = -x + 1 koja prolazi kroz točku (-2, 2)

Reference

1. Integralno računanje. Neodređene integralne i integracijske metode. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
2. Stewart, J. (2001). Izračunavanje varijable. Rani transcendentalni. Meksiko: Thomson učenje.
3. Jiménez, R. (2011). Matematika VI. Integralno računanje. Meksiko: Pearson Education.
4. Fizika I. Mc Graw brdo