BOLTZMANNOVA KONSTANTA: POVIJEST, JEDNADŽBE, RAČUN, VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

Boltzmannova konstanta je vrijednost koja se odnosi na prosječnu kinetičku energiju termodinamičkog sustava ili objekt s apsolutnom temperaturom od iste. Iako se često zbunjuju, temperatura i energija nisu isti pojam.

Temperatura je mjera energije, ali ne i same energije. S Boltzmannovom konstantom oni su povezani na sljedeće načine:

Boltzmannov nadgrobni spomenik u Beču. Izvor: Daderot na engleskoj Wikipediji

Ova jednadžba vrijedi za monatomsku molekulu idealnog plina mase m, gdje je E _c njegova kinetička energija dana u Joulesu, k _B je Boltzmannova konstanta i T je apsolutna temperatura u Kelvinu.

Na taj se način, kad se temperatura povećava, povećava i prosječna kinetička energija po molekuli tvari, kao što se očekuje. A obrnuto se događa kada temperatura padne, sposobna je doći do točke u kojoj se, ako se svako kretanje zaustavi, postigne najniža moguća temperatura ili apsolutna nula.

Kada govorimo o prosječnoj kinetičkoj energiji, potrebno je zapamtiti da je kinetička energija povezana s kretanjem. Čestice se mogu kretati na više načina, poput kretanja, okretanja ili vibriranja. Naravno, neće ih svi raditi na isti način, a pošto su nebrojeni, tada se uzima prosjek za karakterizaciju sustava.

Neka su energetska stanja vjerojatnija od drugih. Ovaj je koncept od radikalne važnosti u termodinamici. Energija razmatrana u prethodnoj jednadžbi je translacijska kinetička energija. Vjerojatnost stanja i njegov odnos s Boltzmannovom konstantom raspravljat ćemo nešto kasnije.

U 2018. Kelvin je redefiniran, a s njim i Boltzmannova konstanta, koja u međunarodnom sustavu iznosi približno 1.380649 x 10 ^-23 J. K ^-1. Mnogo više preciznosti može se postići za Boltzmannovu konstantu, koja je određena u brojnim laboratorijima širom svijeta, različitim metodama.

Povijest

Poznata konstanta svoje ime duguje rođenom bečkom fizičaru Ludwigu Boltzmannu (1844-1906), koji je svoj život znanstvenika posvetio proučavanju statističkog ponašanja sustava s mnogim česticama, s gledišta newtonske mehanike.

Iako je danas postojanje atoma opće prihvaćeno, u 19. stoljeću vjerovanje o tome je li atom stvarno postojao ili je umjetnost s kojom su objašnjene mnoge fizičke pojave bila je u potpunosti rasprava.

Boltzmann je bio nepokolebljivi branitelj postojanja atoma, a u svoje se vrijeme suočio s oštrim kritikama njegovog rada od mnogih kolega koji su smatrali da sadrži nerešive paradokse.

Izjavio je da se opažajne pojave na makroskopskoj razini mogu objasniti statističkim svojstvima sastavnih čestica poput atoma i molekula.

Može biti da su te kritike nastale zbog duboke epizode depresije koja ga je navela da mu oduzme život početkom rujna 1906., kad je još imao puno toga za raditi, budući da je smatran jednim od velikih teorijskih fizičara svog vremena i ostalo mu je vrlo malo. da i drugi znanstvenici doprinose potvrđivanju istinitosti njihovih teorija.

Ubrzo nakon njegove smrti dodana su nova otkrića o prirodi atoma i njegovih sastavnih čestica kako bi se dokazalo da je Boltzmann u pravu.

Boltzmannova konstanta i Planckova djela

Sada je uvedena Boltzmannova konstanta k _B kao što je poznato danas neko vrijeme nakon rada austrijskog fizičara. Bio je to Max Planck, u svom zakonu o emisiji crnog tijela, koji je predstavio 1901. Godine i dao mu vrijednost 1,34 x 10 ⁻²³ J / K.

Oko 1933. na Boltzmannov nadgrobni spomenik u Beču dodana je ploča s definicijom entropije koja uključuje čuvenu konstantu: S = k _B log W kao posthumni danak, o jednadžbi o kojoj će se govoriti kasnije.

Danas je Boltzmannova konstanta neophodna u primjeni zakona termodinamike, statističke mehanike i teorije informacija, čija je područja ovaj žalosni fizičar bio pionir.

Vrijednost i jednadžbe

Plinovi se mogu opisati makroskopsko, kao i mikroskopski. Za prvi opis postoje pojmovi kao što su gustoća, temperatura i tlak.

Međutim, treba imati na umu da se plin sastoji od mnogo čestica koje imaju globalnu sklonost određenom ponašanju. Taj se trend makroskopski mjeri. Jedan od načina za određivanje Boltzmannove konstante zahvaljuje dobro poznatoj jednadžbi idealnog plina:

Ovdje je p tlak plina, V je njegov volumen, n je broj prisutnih molova, R je konstanta plina i T je temperatura. U mol idealnog plina ostvaruje se sljedeći odnos između proizvoda pV, a translacijska kinetička energija K cijelog skupa je:

Stoga je kinetička energija:

Dijeljenjem s ukupnim brojem prisutnih molekula, koje ćemo nazvati N, dobiva se prosječna kinetička energija pojedine čestice:

U jednom molu nalazi se Avogadrov broj čestica N _A, i stoga je ukupni broj čestica N = nN A, što znači:

Upravo je kvocijent R / N _A Boltzmannova konstanta, pa se pokazuje da prosječna translacijska kinetička energija čestice ovisi samo o apsolutnoj temperaturi T, a ne o drugim količinama kao što su tlak, volumen ili čak vrsta molekule:

Boltzmannova konstanta i entropija

Plin ima zadanu temperaturu, ali ta temperatura može odgovarati različitim stanjima unutarnje energije. Kako vizualizirati ovu razliku?

Razmotrite istodobni preokret od 4 novčića i načine na koje mogu pasti:

Načini na koje 4 mogu ispustiti 4 novčića. Izvor: self made

Skup kovanica može pretpostaviti ukupno 5 stanja, koja se smatraju makroskopskim, opisanim na slici. Za koje bi od tih stanja čitatelj rekao da je najvjerojatnije?

Odgovor bi trebao biti stanje 2 glave i 2 repa jer imate 16 mogućnosti, od 16 prikazanih na slici. Y 2 ⁴ = 16. Ova su jednaka mikroskopska stanja.

Što ako se 20 novčića baci umjesto 4? Postojale bi ukupno 2 ²⁰ mogućnosti ili "mikroskopska stanja". To je puno veći broj i teže ga je podnijeti. Da bi se olakšalo rukovanje velikim brojem, logaritmi su vrlo prikladni.

Ono što se čini očitim jest da je država s najvećim poremećajem najvjerojatnija. Nešto manje vjerojatne su naručene države poput 4 glave ili 4 pečata.

Entropija makroskopskog stanja S definirana je kao:

Gdje je w broj mogućih mikroskopskih stanja sustava i k _B je Boltzmannova konstanta. Budući da je ln w bezdimenzijski, entropija ima iste jedinice kao k _B: Joule / K.

Ovo je poznata jednadžba na Boltzmannovom nadgrobnom spomeniku u Beču. Međutim, više od entropije, najvažnija je njezina promjena:

Kako se izračunava k

Vrijednost Boltzmannove konstante dobiva se eksperimentalno na krajnje precizan način s mjerenjima koja se temelje na akustičkoj termometriji, a koja se provode koristeći svojstvo koje uspostavlja ovisnost brzine zvuka u plinu od njegove temperature.

Doista, brzina zvuka u plinu je dana s:

B _adiabatska = γp

A ρ je gustoća plina. Za gornju jednadžbu p je tlak dotičnog plina, a γ adijabatski koeficijent, čija se vrijednost za dati plin nalazi u tablicama.

Metrološki instituti također eksperimentiraju s drugim načinima mjerenja konstante, poput Johnson-ove bučne termometrije, koja koristi slučajne toplotne fluktuacije u materijalima, posebno u vodičima.

Riješene vježbe

-Vježba 1

Pronaći:

a) Prosječna translacijska kinetička energija E _c koju molekula idealnog plina ima na 25 ° C

b) Translacijska kinetička energija K molekula u 1 molu ovog plina

c) Prosječna brzina molekule kisika pri 25 ° C

Činjenica

m _kisik = 16 x 10 ^-3 kg / mol

Riješenje

a) E _c = (3/2) k T = 1,5 x 1,380649 x 10 ^-23 J. K ^-1 x 298 K = 6,2 x 10 ^-21 J

b) K = (3/2) nRT = 5 x 1 mol x 8,314 J / mol. K x 298 K = 3716 J

c) E _c = ½ mv ², uzimajući u obzir da je molekula kisika dijatomska i molarna masa se mora pomnožiti s 2, imat ćemo:

Pronađite promjenu entropije kada se 1 mol plina koji zauzima volumen 0,5 m ³ proširi na 1 m ³.

Riješenje

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁)

Reference

1. Atkins, P. 1999. Fizička kemija. Omega izdanja. 13-47.
2. Bauer, W. 2011. Fizika za inženjerstvo i znanosti. Svezak 1. Mc Graw Hill. 664- 672.
3. Giancoli, D. 2006. Fizika: Načela s primjenama. 6… dvorana Ed Prentice. 443-444.
4. Sears, Zemanski. 2016. Sveučilišna fizika s modernom fizikom. 14.. Ed. Svezak 1. 647-673.
5. DA Redefinicija. Kelvin: Boltzmann Constant. Preuzeto s: nist.gov