KONGRESNOST: KONGRUENTNE FIGURE, KRITERIJI, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Podudarnost u geometriji kaže da ako se dvije avionske brojke imaju na isti oblik i dimenzije, to su sukladni. Na primjer, dva segmenta su sukladna kad su im duljine jednake. Isto tako, kongruentni kutovi imaju istu mjeru, iako nisu usmjereni na isti način u ravnini.

Izraz "kongruencija" potječe od latinskog congruentia, čije je značenje korespondencija. Dakle, dvije kongruentne figure točno odgovaraju jedna drugoj.

Slika 1. Četverokutnici ABCD i A'B'C'D 'na slici su složni: njihove strane imaju istu mjeru kao i njihovi unutarnji kutovi. Izvor: F. Zapata.

Primjerice, ako na slici stavimo dva četverokuta, ustanovit ćemo da su one jednake jer je raspored njihovih strana identičan i oni mjere isto.

Postavljanjem četverostrana ABCD i A'B'C'D 'jedan na drugi, brojke će se točno podudarati. Koincidencijalne strane nazivamo homolognim ili odgovarajućim stranama, a simbol ≡ upotrebljava se za iskazivanje kongruencije. Dakle, možemo reći da je ABCD ≡ A'B'C'D '.

Kriteriji kongruence

Sljedeće su karakteristike zajedničke poligonima:

-Isti oblik i veličina.

-Identična mjerenja njihovih kutova.

- Ista mjera na svakoj od njegovih strana.

U slučaju da su dva dotična poligona pravilna, odnosno da su sve strane i unutarnji kutovi jednaki, kongruencija je osigurana kada je ispunjen bilo koji od sljedećih uvjeta:

- Stranice su sukladne

-Apotemi imaju istu mjeru

-R radijus svakog poligona mjeri isto

Apotema pravilnog poligona je udaljenost između središta i jedne od strana, dok polumjer odgovara udaljenosti između središta i vrha ili kuta figure.

Kriteriji kongruencije često se koriste jer se toliko vrsta dijelova i komada proizvodi u masovnoj proizvodnji i moraju imati isti oblik i mjere. Na taj se način mogu lako zamijeniti kada je to potrebno, na primjer matice, vijci, plahte ili popločani kamen na tlu na ulici.

Slika 2. Kamen za popločavanje ulice skladne su figure, budući da su oblik i dimenzije potpuno iste, premda im se orijentacija na podu može mijenjati. Izvor: Pixabay.

Kongruencija, identitet i sličnost

Postoje geometrijski pojmovi povezani s kongruencijom, na primjer identične figure i slične figure, koje ne moraju nužno podrazumijevati da su figure jednake.

Imajte na umu da su kongruentne figure identične, no četverokutnici na slici 1 mogu se na različite načine orijentirati na ravninu i još uvijek ostaju kongruentni, budući da različita orijentacija ne mijenja veličinu njihovih strana ili njihovih kutova. U tom slučaju više ne bi bile identične.

Drugi je koncept sličnosti figura: dvije ravnine su slične ako imaju isti oblik, a njihovi unutarnji kutovi mjere isti, iako veličina figure može biti različita. Ako je to slučaj, brojke nisu u skladu.

Primjeri kongruencije

- Kongresnost kutova

Kao što smo naveli na početku, kongruentni kutovi imaju istu mjeru. Postoji nekoliko načina dobivanja kongruentnih kutova:

Primjer 1

Dvije crte sa zajedničkom točkom definiraju dva kuta, nazvana suprotnim kutovima zbog vrha. Ovi kutovi imaju istu mjeru, stoga su kongruentni.

Slika 3. Suprotni kutovi prema vrhovima. Izvor: Wikimedia Commons.

Primjer 2

Postoje dvije paralelne linije plus linija t koja presijeca obje. Kao i u prethodnom primjeru, kada ta linija presijeca paralele, stvara kongruentne kutove, jedan na svakoj liniji s desne strane i drugi na lijevoj strani. Na slici su α i α ₁, desno od linije t, koje su jednake.

Slika 4. Kutovi prikazani na slici su skladni. Izvor: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Primjer 3

U paralelogramu su četiri unutarnja kuta, koja su jednaka dva do dva. Oni su između suprotnih vrhova, kao što je prikazano na sljedećoj slici, u kojoj su dva kutova u zelenoj boji jednaka, kao i dva kuta u crvenoj boji.

Slika 5. Unutarnji kutovi paralelograma jednaki su dva po dva. Izvor: Wikimedia Commons.

- Kongresnost trokuta

Dva su trokuta jednakog oblika i veličine. Da bi se provjerila ovo, postoje tri kriterija koja se mogu ispitati u potrazi za kongruencijom:

- kriterij LLL: tri strane trokuta imaju iste mjere, dakle L ₁ = L ' ₁; L ₂ = L ' ₂ i L ₃ = L' _3.

Slika 6. Primjer kongruentnih trokuta, čije se stranice mjere jednako. Izvor: F. Zapata.

- Kriteriji ALA i AAL: trokuti imaju dva jednaka unutarnja kuta, a strana između tih kutova ima istu mjeru.

Slika 7. ALA i AAL kriteriji za kongruenciju trokuta. Izvor: Wikimedia Commons.

- LAL kriterij: dvije su strane identične (odgovarajuće) i postoji isti kut između njih.

Slika 8. LL kriterij za kongruenciju trokuta. Izvor: Wikimedia Commons.

Riješene vježbe

- Vježba 1

Na sljedećoj su slici prikazana dva trokuta: ΔABC i ΔECF. Poznato je da je AC = EF, da je AB = 6 i da je CF = 10. Nadalje, kutovi ∡BAC i ∡FEC su kongruentni, a kutovi ∡ACB i ∡FCB također su kongentni.

Slika 9. Trokuti za obrađeni primjer 1. Izvor: F. Zapata.

Tada je duljina segmenta BE jednaka:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Riješenje

Kako dva trokuta imaju stranu jednake duljine AC = EF između jednakih kutova ∡BAC = ∡CEF i ∡BCA = ∡CFE, može se reći da su dva trokuta jednaka kriteriju ALA.

To je, ΔBAC ≡ ΔCEF, pa moramo:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Ali segment koji se izračunava je BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Dakle, točan odgovor je (iii).

- Vježba 2

Na donjoj slici prikazana su tri trokuta. Također je poznato da dva naznačena kuta mjere 80º svaki i da su segmenti AB = PD i AP = CD. Pronađite vrijednost kuta X naznačenog na slici.

Slika 10. Trokuti za riješeni primjer 2. Izvor: F. Zapata.

Riješenje

Morate primijeniti svojstva trokuta koja su detaljno opisana korak po korak.

Korak 1

Polazeći od kriterija kongruencije LAL trokuta, može se ustvrditi da su trokutasti BAP i PDC sukladni:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Korak 2

Navedeno dovodi do potvrde da je BP = PC, stoga je trokut ΔBPC izosceles i ∡PCB = ∡PBC = X.

3. korak

Nazovimo li kut BPC γ, proizlazi da:

2x + γ = 180º

4. korak

A ako kutove nazivamo APB i DCP β i α kutovima ABP i DPC, imamo:

α + β + γ = 180º (budući da je APB ravni kut).

5. korak

Nadalje, α + β + 80º = 180º zbroj unutarnjih kutova trokuta APB.

Korak 6

Kombinirajući sve ove izraze imamo:

α + β = 100º

Korak 7

I stoga:

γ = 80º.

8. korak

Napokon slijedi:

2X + 80º = 180º

S X = 50º.

Reference

1. Baldor, A. 1973. Geometrija ravnina i svemira. Srednjoamerički kulturni.
2. Zaklada CK-12. Kongruentni poligoni. Oporavak od: ck 12.org.
3. Uživajte u matematici. Definicije: polumjer (poligon). Oporavak od: uživajte u tematici.com.
4. Otvorena matematička referenca. Ispitivanje poligona na skladnost. Oporavilo od: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Kongruencija (geometrija). Oporavak od: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Trokut, povijest, elementi, klasifikacija, svojstva. Oporavilo od: lifeder.com.