NEKOPLANARNI VEKTORI: DEFINICIJA, UVJETI, VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

U ne - višeslojne vektori su oni koji ne dijele istu ravninu. Dva slobodna vektora i točka određuju jednu ravninu. Treći vektor može ili ne mora dijeliti tu ravninu, a ako se ne dogodi, to su nekoplanarni vektori.

Nekoplanarni vektori ne mogu biti predstavljeni u dvodimenzionalnim prostorima poput ploče ili papira jer su neki od njih sadržani u trećoj dimenziji. Da biste ih pravilno prikazali, morate koristiti perspektivu.

Slika 1. Koplanarni i nekoplanarni vektori. (Vlastita obrada)

Ako pogledamo sliku 1, svi prikazani predmeti nalaze se strogo u ravnini ekrana, međutim, zahvaljujući perspektivi, naš mozak može zamisliti ravninu (P) koja izlazi iz nje.

Na toj ravnini (P) su vektori r, s, u, dok vektori v i w nisu u toj ravnini.

Stoga su vektori r, s, u koplanarni ili koplanarni jedan s drugim jer dijele istu ravninu (P). Vektori v i w ne dijele ravninu s bilo kojim drugim prikazanim vektorom, dakle nisu koplanarni.

Koplanarni vektori i jednadžba ravnine

Ravnina je jedinstveno definirana ako u trodimenzionalnom prostoru postoje tri točke.

Pretpostavimo da su te tri točke točka A, točka B i točka C koje određuju ravninu (P). Pomoću ovih točaka moguće je konstruirati dva vektora AB = u i AC = v koji su po konstrukciji koplanarni s ravninom (P).

Poprečni produkt (ili umreženi proizvod) ova dva vektora rezultira trećim vektorom okomitim na njih (ili normalno) i, dakle, okomito na ravninu (P):

n = u X v => n ⊥ u i n ⊥ v => n ⊥ (P)

Bilo koja druga točka koja pripada ravnini (P) mora zadovoljiti da je vektor AQ okomit na vektor n; To je ekvivalentno kazivanju da proizvod točka (ili točkast proizvod) od n sa AQ mora biti nula:

n • AQ = 0 (*)

Prethodni uvjet je ekvivalentan reći:

AQ • (u X v) = 0

Ova jednadžba osigurava da točka Q pripada ravnini (P).

Kartezijanska jednadžba ravnine

Gornja jednadžba može se napisati u kartezijanskom obliku. Da bismo to učinili, napišemo koordinate točaka A, Q i komponente normalnog vektora n:

Dakle, komponente AQ su:

Uvjet da se vektor AQ nalazi u ravnini (P) je uvjet (*) koji je sada napisan ovako:

Izračunavanje preostalih točaka:

Ako je razvijen i preuređen ostaje:

Prethodni izraz je kartezijanska jednadžba ravnine (P), kao funkcija komponenata vektora normalnih do (P) i koordinata točke A koja pripada (P).

Uvjeti da tri vektora ne budu koplanarni

Kao što je vidljivo u prethodnom odjeljku, uvjet AQ • (u X v) = 0 jamči da je vektor AQ koplanarni prema u i v.

Ako nazovemo vektor AQ w, tada možemo potvrditi da:

w, u i v su koplanarni, ako i samo ako w • (u X v) = 0.

Nekoplanarnost

Ako se trostruki produkt (ili mješoviti proizvod) od tri vektora razlikuje od nule, tada su ta tri vektora nekoplanarna.

Ako je w • (u X v) ≠ 0, tada su vektori u, v i w nekoplanarni.

Ako se uvode kartezijanske komponente vektora u, v i w, uvjet nekoplanarnosti može se napisati ovako:

Trostruki proizvod ima geometrijsku interpretaciju i predstavlja volumen paralelepipeda generiranog od tri nekoplanarna vektora.

Slika 2. Tri nekoplanarna vektora definiraju paralelepiped čiji je volumen modul trostrukog produkta. (Vlastita obrada)

Razlog je sljedeći; Kad se dva ne-koplanarna vektora množe vektorsko, dobiva se vektor čija je veličina područje paralelograma koji generiraju.

Kada je ovaj vektor skalarno množen s trećim nekoplanarnim vektorom, ono što imamo je projekcija na vektor okomit na ravninu koju prva dva određuju pomnoženo s površinom koju oni određuju.

Drugim riječima, imamo područje paralelograma generirano od prva dva pomnoženo s visinom trećeg vektora.

Alternativni uvjet ne-koplanarnosti

Ako imate tri vektora i nijedan se od njih ne može zapisati kao linearna kombinacija ostala dva, onda su tri vektora nekoplonarna. To jest, tri vektora u, v i w nisu koplanarni ako je uvjet:

α u + β v + γ w = 0

Zadovoljava se samo kad je α = 0, β = 0 i γ = 0.

Riješene vježbe

-Vježba 1

Postoje tri vektora

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) i w = (-1, 2, z)

Imajte na umu da je z komponenta vektora w nepoznata.

Pronađite raspon vrijednosti koje z može uzeti tako da zajamčeno da tri vektora ne dijele istu ravninu.

Riješenje

w • (u X v) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Postavljamo ovaj izraz jednak nuli

21 z + 18 = 0

i rješavamo za z

z = -18 / 21 = -6/7

Ako bi varijabla z uzela vrijednost -6/7, tri bi vektora bila koplanarna.

Znači vrijednosti z koje garantiraju da su vektori nekoplanarni su vrijednosti u sljedećem intervalu:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Vježba 2

Pronađite volumen paralelepipeda prikazan na sljedećoj slici:

Riješenje

Da bi se pronašao volumen paralelepipeda prikazanog na slici, odredit će se kartezijanske komponente triju istodobnih nekoplanarnih vektora na početku koordinatnog sustava. Prvi je vektor u 4m i paralelan s osi X:

u = (4, 0, 0) m

Drugi je vektor v XY ravnini veličine 3m koji sa osi X tvori 60 °:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

A treći je vektor w od 5m i čija projekcija u ravnini XY tvori 60 ° sa X osi, a w tvori 30 ° sa osi Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Nakon što su proračuni provedeni, dobili smo: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Reference

1. Figueroa, D. Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Kinematika. 31-68.
2. Fizička. Modul 8: Vektori. Oporavak od: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mehanika za inženjere. Statički 6. izdanje Izdavačka kuća Continental, 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mehanika za inženjere: Statika i dinamika. 3. izdanje McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Oporavilo sa: es.wikipedia.org