Bernoullijeva teorem, koji opisuje ponašanje tekućine u pokretu, bio je artikulirana je matematički i fizički Daniel Bernoulli u svom radu hidrodinamike. Prema principu, idealna tekućina (bez trenja ili viskoznosti) koja kruži zatvorenim cjevovodom imat će konstantnu energiju na svom putu.
Teorem se može izvesti iz principa očuvanja energije, pa čak i iz Newtonovog drugog zakona kretanja. Pored toga, Bernoullijev princip također kaže da povećanje brzine fluida podrazumijeva pad tlaka kojem je podvrgnut, smanjenje njegove potencijalne energije ili oboje istovremeno.
Daniel Bernoulli
Teorem ima mnogo različitih primjena, kako u svijetu znanosti, tako i u svakodnevnom životu ljudi.
Njegove posljedice prisutne su u sili zrakoplova, u dimnjacima domova i industrija, vodovodnim cijevima, između ostalog.
Bernoullijeva jednadžba
Iako je Bernoulli bio taj koji je zaključio da se tlak smanjuje kada se protok poveća, istina je da je Leonhard Euler zapravo razvio Bernoullijevu jednadžbu u obliku u kojem je danas poznat.
U svakom slučaju, Bernoullijeva jednadžba, koja nije ništa drugo do matematički izraz njegove teoreme, je sljedeća:
v 2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = konstanta
U ovom izrazu, v je brzina fluida kroz razmatrani presjek, ƿ je gustoća fluida, P je tlak fluida, g je vrijednost ubrzanja gravitacije, a z je visina izmjerena u smjeru gravitacije.
Iz Bernoullijeve jednadžbe se podrazumijeva da se energija neke tekućine sastoji od tri komponente:
- Kinetička komponenta, ona koja je rezultat brzine kojom se fluid kreće.
- Potencijalna ili gravitaciona komponenta, koja nastaje zbog visine na kojoj je tekućina.
- Energija pritiska, ona koja ima tekućina kao posljedica pritiska kojem je izložena.
S druge strane, Bernoullijeva jednadžba se također može izraziti ovako:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
Ovaj posljednji izraz vrlo je praktičan za analizu promjena koje tekućina doživljava kada se promijeni bilo koji od elemenata koji čine jednadžbu.
Pojednostavljeni oblik
U određenim prilikama promjena ρgz termina Bernoullijeve jednadžbe je minimalna u usporedbi s onom koji imaju drugi pojmovi, pa se može zanemariti. Na primjer, to se događa u struji koju je zrakoplov doživio u letu.
U tim se prilikama Bernoullijeva jednadžba izražava na sljedeći način:
P + q = P 0
U ovom izrazu q je dinamički tlak i ekvivalentan je v 2 ∙ ƿ / 2, a P 0 je ono što se naziva ukupni tlak i zbroj je statičkog tlaka P i dinamičkog tlaka q.
Prijave
Bernoullijeva teorema ima brojne i raznolike primjene na područjima koja su raznolika kao što su znanost, inženjerstvo, sport itd.
Zanimljiva primjena nalazi se u dizajnu kamina. Dimnjaci su ugrađeni visoko kako bi se postigla veća razlika u tlaku između baze i izlaza iz dimnjaka, zahvaljujući čemu je lakše izlučivati izgarajuće plinove.
Naravno, Bernoullijeva jednadžba odnosi se i na proučavanje kretanja protoka tekućine u cijevima. Iz jednadžbe proizlazi da smanjenje površine poprečnog presjeka cijevi, da bi se povećala brzina fluida koji kroz nju prolazi, podrazumijeva i smanjenje tlaka.
Bernoullijeva jednadžba koristi se i u zrakoplovstvu i u vozilima Formule 1. U slučaju zrakoplovstva, Bernoullijev učinak je podrijetlo podizanja zrakoplova.
Krila zrakoplova dizajnirana su s ciljem postizanja većeg protoka zraka na vrhu krila.
Tako je u gornjem dijelu krila brzina zraka velika, a samim tim i tlak niži. Ova razlika u tlaku proizvodi okomito uzlaznu silu (sila podizanja) koja omogućuje letjelici da ostane u zraku. Sličan učinak postiže se i na automobilima Formule 1.
Vježba riješena
Struja vode teče 5,18 m / s kroz cijev s presjekom 4,2 cm 2. Voda se s visine od 9,66 m spušta na nižu razinu s nadmorskom visinom nula, dok se površina poprečnog presjeka cijevi povećava na 7,6 cm 2.
a) Izračunajte brzinu vodene struje na donjoj razini.
b) Odredite tlak na donjoj razini znajući da je tlak na gornjoj razini 152000 Pa.
Riješenje
a) S obzirom da se protok mora sačuvati, istina je da:
Q gornja razina = Q donja razina
v 1. S 1 = v 2. S 2
5,18 m / s. 4,2 cm 2 = v 2. 7,6 cm ^ 2
Rješavajući za, dobiva se da:
v 2 = 2,86 m / s
b) Primjenjujući Bernoullijevu teoremu između dviju razina, uzimajući u obzir da je gustoća vode 1000 kg / m 3, dobiva se da:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
(1/2). 1000 kg / m 3. (5,18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 9,66 m =
= (1/2). 1000 kg / m 3. (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 0 m
Rješavajući za P 2, dobivamo:
P 2 = 257926,4 Pa
Reference
- Bernoullijev princip. (ND). Na Wikipediji. Preuzeto 12. svibnja 2018. s es.wikipedia.org.
- Bernoullijevo načelo. (ND). U Wikipediji. Preuzeto 12. svibnja 2018. s en.wikipedia.org.
- Batchelor, GK (1967). Uvod u dinamiku fluida. Cambridge University Press.
- Lamb, H. (1993). Hidrodinamika (6. izd.). Cambridge University Press.
- Mott, Robert (1996). Primjena mehanike fluida (4. izd.). Meksiko: Pearson Education.