SARRUSOVO PRAVILO: OD ČEGA SE SASTOJI I VRSTE DETERMINANTI - KULTURNI VOKABULAR - 2026

Pravilo Sarrus se koristi za izračunavanje rezultat 3 × 3 odrednica. Koriste se za rješavanje linearnih jednadžbi i otkrivanje jesu li kompatibilne.

Kompatibilni sustavi olakšavaju dobivanje rješenja. Također se koriste za određivanje jesu li skupovi vektora linearno neovisni i čine osnovu vektorskog prostora.

Te se aplikacije temelje na invertibilnosti matrica. Ako je matrica pravilna, njezina je odrednica različita od 0. Ako je jednina, njena je odrednica jednaka 0. Determinante se mogu izračunati samo u kvadratnim matricama.

Za izračunavanje matrica bilo kojeg reda, Laplaceov teorem može se koristiti. Ova teorema omogućuje nam da pojednostavimo matrice velikih dimenzija, u zbroju malih odrednica koje dekomponujemo iz glavne matrice.

Navodi da je odrednica matrice jednaka zbroju produkata svakog retka ili stupca, koliko je puta veća od odrednice njegove pridružene matrice.

Ovo smanjuje determinante tako da odrednica stupnja n postaje n odrednica n-1. Ako ovo pravilo primjenjujemo sukcesivno, možemo dobiti odrednice dimenzije 2 (2 × 2) ili 3 (3 × 3), gdje je njegovo izračunavanje mnogo lakše.

Sarrus vladanje

Pierre Frederic Sarrus bio je francuski matematičar iz 19. stoljeća. Većina njegovih matematičkih traktata temelji se na metodama rješavanja jednadžbi i izračuna varijacija, unutar numeričkih jednadžbi.

U jednom je svom traktatu riješio jednu od najsloženijih zagonetki iz mehanike. Da bi riješio probleme zglobnih dijelova, Sarrus je uveo transformaciju alternativnih pravokutnih pokreta, u jednolika kružna kretanja. Ovaj novi sustav poznat je kao Sarrus mehanizam.

Istraživanje koje je ovom matematičaru dalo najviše slave u kojem je uveo novu metodu izračuna determinanti, u članku "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Nova metoda za rješavanje jednadžbi), koji je objavljen u godine 1833. Ovaj način rješavanja linearnih jednadžbi poznat je kao Sarrusovo pravilo.

Sarrusovo pravilo omogućava izračunavanje determinante matrice 3 × 3, bez potrebe za korištenjem Laplasove teoreme, uvodeći mnogo jednostavniju i intuitivniju metodu. Da bismo provjerili vrijednost Sarrusovog pravila, uzimamo bilo koju matricu dimenzije 3:

Proračun njegove determinante izvršio bi se pomoću proizvoda njegovih glavnih dijagonala, oduzimajući proizvod obrnutih dijagonala. To bi bilo sljedeće:

Sarrusovo pravilo omogućava nam da dobijemo puno lakšu viziju prilikom izračuna dijagonale determinante. To bi bilo pojednostavljeno dodavanjem prva dva stupca na poleđinu matrice. Na taj se način jasnije vide koji su glavni dijagonali i koji su obrnuti za proračun proizvoda.

Kroz ovu sliku vidimo primjenu Sarrusovog pravila, uključujemo red 1 i 2, ispod grafičkog prikaza početne matrice. Na taj su način glavne dijagonale tri dijagonale koje se pojavljuju prvi.

Tri obrnute dijagonale zauzvrat su one koje se prvo pojavljuju straga.

Na taj se način dijagonale pojavljuju na vizualniji način, bez kompliciranja razlučivanja odrednice, pokušavajući otkriti koji elementi matrice pripadaju svakoj dijagonali.

Kao što se vidi na slici, biramo dijagonale i izračunavamo rezultirajući proizvod svake funkcije. Dijagonale koje se pojavljuju u plavoj boji su one koje se zbrajaju. Do zbroja ovih oduzimamo vrijednost dijagonala koje se pojavljuju crvenom bojom.

Da bismo kompresiju olakšali, umjesto algebarske izraze i podterme možemo koristiti numerički primjer.

Uzmimo li na primjer bilo koju matricu 3 × 3:

Da bismo primijenili Sarrusovo pravilo i riješili ga na vizualniji način, trebali bismo uključiti red 1 i 2, kao red 4 i 5. Važno je da red 1 zadržite u 4. položaju, a red 2. u 5. položaju. Budući da ih razmijenimo, Sarrusovo pravilo neće biti učinkovito.

Da bi se izračunala odrednica, naša bi matrica bila sljedeća:

Za nastavak izračuna pomnožit ćemo elemente glavnih dijagonala. Potomci koji počinju s lijeve strane imat će pozitivan znak; dok obrnute dijagonale, koje polaze s desne strane, imaju negativan predznak.

U ovom primjeru plavi bi imali pozitivan znak, a crveni negativni. Konačni izračun Sarrusovog pravila izgledao bi ovako:

Vrste odrednica

Odrednica dimenzije 1

Ako je dimenzija matrice jednaka, matrica izgleda ovako: A = (a)

Stoga bi njegova odrednica bila sljedeća: det (A) = -A- = a

Ukratko, odrednica matrice A jednaka je apsolutnoj vrijednosti matrice A, koja je u ovom slučaju jednaka.

Odrednica dimenzije 2

Ako prijeđemo na matrice dimenzije 2, dobit ćemo matrice tipa:

Gdje je njegova odrednica definirana kao:

Rezolucija ove odrednice temelji se na množenju njezine glavne dijagonale, oduzimanjem produkta njene obrnute dijagonale.

Kao mnemotehnička svojstva koristimo slijedeći dijagram za pamćenje njezine odrednice:

Odrednica dimenzije 3

Ako je dimenzija matrice 3, rezultirajuća matrica bila bi ovog tipa:

Određivanje ove matrice bilo bi riješeno Sarrusovom vladavinom na ovaj način:

Reference

1. Jenny Olive (1998) Maths: Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) Matematika od 30 sekundi: 50 najtežih teorija matematike. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) Studija o proračunu determinanti matrice 3 × 3. Akademsko izdavaštvo Lap Lambert.
5. Anthony Nicolaides (1994) Odrednici i matrice. Proći Publikaciju.
6. Jesse Russell (2012) Vladavina Sarrusa.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Uvod u linearnu algebru. Uredništvo ESIC-a.