ARHIMEDOV PRINCIP: FORMULA, DOKAZ, PRIMJENE - FIZIČKA - 2024

Podnositelja Arhimed ' princip navodi da tijelo uronjeno u cijelosti ili djelomično, dobiva vertikalnu silu prema gore pod nazivom potisak, koji je ekvivalent težine volumena tekućine istisnute po tijelu.

Neki objekti plutaju u vodi, neki potonu, a neki djelomično potonu. Za potopiti plažnu kuglu potrebno je uložiti napor, jer odmah se opaža ta sila koja je pokušava vratiti na površinu. Umjesto toga metalna sfera brzo tone.

Slika 1. Plutajući baloni: Arhimedov princip na djelu. Izvor: Pixabay.

S druge strane, potopljeni predmeti djeluju lakši, pa postoji sila koju utječe tekućina koja se suprotstavlja težini. Ali to ne može uvijek u potpunosti nadoknaditi gravitaciju. Iako su to očiglednije s vodom, plinovi također mogu proizvesti ovu silu na predmete uronjene u njih.

Povijest

Arhimed Sirakuze (287-212. Pr. Kr.) Bio je taj koji je morao otkriti taj princip, biti jedan od najvećih znanstvenika u povijesti. Kažu da je sirakuški kralj Hiero II naredio zlataru da mu napravi novu krunu, za što mu je dao određenu količinu zlata.

Arhimed

Kad je kralj dobio novu krunu, bila je to ispravna težina, ali sumnjao je da ga je zlatar prevario dodavanjem srebra umjesto zlata. Kako je mogao to dokazati a da nije uništio vijenac?

Hiero je nazvao Arhimeda, čija je reputacija znanstvenika bila dobro poznata, kako bi mu pomogao riješiti problem. Legenda kaže da je Arhimed bio potopljen u kadi kad je pronašao odgovor i takva je bila njegova emocija, da je trčao gol kroz ulice Sirakuze u potrazi za kraljem, vičući "eureka", što znači "našao sam ga".

Što je Arhimed pronašao? Pa, kad se kupate, nivo vode u kadi porastao je kad je ušao, što znači da potopljeno tijelo zamjenjuje određeni volumen tekućine.

A ako je krunu uronio u vodu, to je također trebalo istisnuti određeni volumen vode ako je kruna napravljena od zlata i drugačija ako je izrađena od legure sa srebrom.

Formula

Sila podizanja koja se spominje po Arhimedovom principu poznata je kao hidrostatička potisna ili plovna sila i, kao što smo rekli, jednaka je težini volumena tekućine koju tijelo izbaci prilikom potapanja.

Pomjereni volumen jednak je volumenu predmeta koji je potopljen, bilo u potpunosti ili djelomično. Budući da je masa bilo čega mg, a masa tekućine je gustoća x volumen, što označava jačinu potiska kao B, matematički imamo:

B = m _tekućina xg = gustoća tekućine x Potopljeni volumen x gravitacija

B = ρ _tekućina x V _potopljena xg

Gdje grčko slovo ρ ("rho") označava gustoću.

Prividna težina

Težina predmeta izračunava se pomoću poznatog izraza mg, međutim kada se potopljeni u vodi stvari osjećaju lakše.

Prividna težina predmeta ono je što ima kada je uronjen u vodu ili drugu tekućinu i znajući to, može se dobiti volumen nepravilnog predmeta, poput krune kralja Hiera, kao što će se vidjeti u nastavku.

Da biste to učinili, potpuno je potopljen u vodu i podložan je žicom pričvršćenom na dinamometar - instrument opremljen oprugom koja se koristi za mjerenje sila. Što je veća težina predmeta, to je veće izduženje opruge, koje se mjeri na skali koja je data u aparatu.

Slika 2. Prividna težina potopljenog predmeta. Izvor: priredio F. Zapata.

Primjena Newtonovog drugog zakona znajući da je objekt u mirovanju:

ΣF _y = B + T - W = 0

Ukupna težina W jednaka zategnutost u niza T:

Budući da potisak nadoknađuje težinu, jer je dio tekućine u mirovanju, tada:

Iz ovog izraza proizlazi da je potisak posljedica razlike tlaka između gornje strane cilindra i donje strane. Budući da je W = mg = ρ tekućina. V. g, mora:

Što je upravo izraz za potisak spomenut u prethodnom odjeljku.

Prijave

Arhimedov princip pojavljuje se u mnogim praktičnim primjenama, među kojima možemo imenovati:

- Aerostatski balon. Koji zbog svoje prosječne gustoće manji od gustoće okolnog zraka, lebdi u njemu zbog potisne sile.

- Brodovi. Trup brodova teži je od vode. Ali ako se uzme u obzir cijeli trup plus zrak unutra, omjer ukupne mase i volumena manji je od vode i to je razlog zbog kojeg brodovi plutaju.

- Prsluci za spašavanje. Izrađeni od lakih i poroznih materijala, oni mogu plutati jer je omjer mase i volumena manji od vode.

- Plovak zatvara slavinu za punjenje spremnika vode. To je kugla ispunjena zrakom koja pluta iznad vode, zbog čega potisna sila - pomnožena s učinkom poluge - zatvara poklopac slavine za punjenje spremnika vode kada dosegne razinu. ukupna.

Primjeri

Primjer 1

Legenda kaže da je kralj Hiero dao zlataru određenu količinu zlata kako bi napravio krunu, ali nepovjerljivi monarh mislio je da je zlatar možda varao postavljanjem metala manje vrijednog od zlata u krunu. Ali kako je mogao znati bez uništavanja krunice?

Kralj je problem povjerio Arhimedu i ovaj je, tražeći rješenje, otkrio njegov poznati princip.

Pretpostavimo da korona teži 2,10 kg-f u zraku i 1,95 kg-f kada je potpuno potopljena u vodu. U ovom slučaju, postoji li ili nema prijevare?

Slika 5. Dijagram slobodnog tijela kraljeve kraljeve čaplje. Izvor: priredio F. Zapata

Dijagram sila prikazan je na gornjoj slici. Te su sile: težina P vijenca, potisak E i napetost T užeta koji visi sa skale.

Poznato je P = 2,10 kg-f i T = 1,95 kg-f, ostaje nam odrediti jačinu potiska E:

S druge strane, prema Arhimedovom principu, potisak E jednak je težini vode izbačene iz prostora koji zauzima kruna, tj. Gustoće vode koja je veća od volumena krune uslijed ubrzanja gravitacije:

Odakle se može izračunati volumen vijenca:

Gustoća krune je kvocijent između mase krune iz vode i njenog volumena:

Gustoća čistog zlata može se odrediti sličnim postupkom i rezultat je 19300 kg / m ^ 3.

Usporedbom dviju gustoća vidljivo je da kruna nije čisto zlato!

Primjer 2

Na temelju podataka i rezultata iz primjera 1, moguće je utvrditi koliko je zlata ukralo zlato u slučaju da je dio zlata zamijenjen srebrom, a gustoća je 10 500 kg / m ^ 3.

Nazvat ćemo gustoću krune ρc, ρo gustoću zlata i ρ _p gustoćom srebra.

Ukupna masa krune je:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Ukupni volumen krune je volumen srebra plus volumen zlata:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Zamjena jednadžbe za masu je:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p) Vo = (ρc - ρ _p) V

Odnosno, volumen zlatnog Vo koji sadrži vijenac ukupnog volumena V je:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p) / (ρo - ρ _p) =…

… = 0.00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0.00005966 m ^ 3

Da bismo pronašli težinu zlata koju kruna sadrži, množimo Vo s gustoćom zlata:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1.1514 kg

Budući da je masa krune 2,10 kg, znamo da je zlatar ukrao 0,94858 kg zlata i zamijenio ga srebrom.

Riješene vježbe

Vježba 1

Ogromni helijev balon u stanju je držati osobu u ravnoteži (bez uspona ili dolje).

Pretpostavimo da je težina osobe plus košarica, konop i balon 70 kg. Koliki je volumen helija potreban da se to dogodi? Koliki bi balon trebao biti?

Riješenje

Pretpostavit ćemo da se potisak proizvodi uglavnom volumenom helija i da je potisak ostalih komponenata vrlo mali u usporedbi s helijem koji zauzima mnogo više volumena.

U ovom će slučaju trebati volumen helija koji može pružiti potisak od 70 kg + težina helija.

Slika 6. Dijagram slobodnog tijela balona ispunjenog helijem. Izvor: priredio F. Zapata.

Potisak je proizvod volumena helija koji je duži od gustoće helija i ubrzanja gravitacije. Taj pritisak mora nadoknaditi težinu helija plus težinu svih ostalih.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

iz čega se zaključuje da je V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Odnosno, 65,4 m ^ 3 helija potreban je za atmosferski tlak da bi se tamo moglo podignuti.

Ako pretpostavimo da je sferni globus, njegov polumjer možemo pronaći iz odnosa između volumena i polumjera kugle:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Odakle R = 2,49 m. Drugim riječima, trebat će joj balon promjera 5 m napunjen helijem.

Vježba 2

U njemu lebde materijali niže gustoće od vode. Pretpostavimo da imate stiropor (bijelu plutu), drvo i kocke leda. Njihova gustoća u kg po kubičnom metru iznosi: 20, 450 i 915.

Pronađite koliki je udio ukupne zapremine izvan vode i koliko stoji iznad površine vode, uzimajući 1000 kilograma po kubičnom metru kao gustoću potonje.

Riješenje

Plovidba se javlja kada je težina tijela jednaka potisku zbog vode:

E = M⋅g

Slika 7. Dijagram slobodnog tijela djelomično potopljenog objekta. Izvor: priredio F. Zapata.

Težina je gustoća tijela Dc pomnožena s njegovim volumenom V i ubrzanjem gravitacije g.

Potisak je masa tekućine koja se istiskuje po Arhimedovom principu i izračunava se množenjem gustoće D vode s potopljenim volumenom V 'i ubrzanjem gravitacije.

To je:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Što znači da je potopljeni volumni udio jednak kvocijentu između gustoće tijela i gustoće vode.

Odnosno, izraziti volumenski udio (V '' / V) je

Ako je h visina prekrivanja, a L strana kocke, zapreminski udio se može zapisati kao

Dakle, rezultati za naručene materijale su:

Polistiren (bijela pluta):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% iz vode

Drvo:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% izvan vode

Led:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% izvan vode

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fizika za inženjerstvo i znanosti. Svezak 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Mehanika fluida. Osnove i primjene. Prvo izdanje. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 4. Tekućine i termodinamika. Uredio Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Mehanika fluida i hidraulika. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fizika: pojmovi i primjene. 7. izdanje. McGraw Hill.