ATOMSKI MODEL DIRAC JORDANA: KARAKTERISTIKE I POSTULATI - FIZIČKA - 2024

Dirac-Jordan atomska Model je relativistička generalizacija Hamiltonian operatora u jednadžbi koja opisuje kvantna val funkciju elektrona. Za razliku od prethodnog modela, onog Schrodingera, nije potrebno nametnuti spin pomoću Pauli-ovog principa isključenja, jer se prirodno pojavljuje.

Pored toga, Dirac-Jordan model uključuje relativističke korekcije, interakciju spin-orbite i Darwinov pojam, koji utječu na finu strukturu elektronskih razina atoma.

Slika 1. Elektronske orbitale u vodikovom atomu za prve tri energetske razine. Izvor: Wikimedia Commons.

Počev od 1928., znanstvenici Paul AM Dirac (1902-1984) i Pascual Jordan (1902-1980) namjeravali su generalizirati kvantnu mehaniku koju je razvio Schrodinger, tako da je uključivala Einsteinove posebne korekcije relativnosti.

Dirak polazi od Schrodingerove jednadžbe koja se sastoji od diferencijalnog operatora, nazvanog Hamiltonian, koji djeluje na funkciju poznatu kao funkcija elektronskog vala. Međutim, Schrodinger nije uzeo u obzir relativističke učinke.

Rješenja valne funkcije omogućuju nam izračunavanje područja u kojima će se s određenim stupnjem vjerojatnosti naći elektron oko jezgre. Ove regije ili zone nazivaju se orbitalima i ovise o određenim diskretnim kvantnim brojevima koji definiraju energiju i kutni moment elektrona.

postulati

U kvantno mehaničkim teorijama, bilo relativističkim ili ne, ne postoji pojam orbita, jer ni položaj ni brzina elektrona ne mogu se istovremeno odrediti. Nadalje, navođenje jedne od varijabli dovodi do potpune nepreciznosti u drugoj.

Sa svoje strane, Hamiltonian je matematički operator koji djeluje na funkciju kvantnog vala i izgrađen je iz energije elektrona. Na primjer, slobodni elektron ima ukupnu energiju E koja ovisi o njegovom linearnom momentu p kao što je ovaj:

E = (p ²) / 2m

Da bismo konstruirali Hamiltonijeva, polazimo od ovog izraza i zamjenjujemo p kvantnim operatorom za zamah:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Važno je napomenuti da su pojmovi p i p različiti, jer je prvi moment, a drugi diferencijalni operator povezan sa zamahom.

Uz to, i je imaginarna jedinica i ħ Planckova konstanta podijeljena s 2π, na taj način dobiva se Hamiltonov operator H slobodnog elektrona:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

Da biste pronašli hamiltoniju elektrona u atomu, dodajte interakciju elektrona s jezgrom:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

U prethodnom izrazu -e je električni naboj elektrona i Φ (r) elektrostatički potencijal koji proizvodi središnja jezgra.

Operater H djeluje na valnu funkciju ψ prema Schrodingerovoj jednadžbi koja je zapisana ovako:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Diracova četiri postulata

Prvi postulat: relativistička jednadžba valova ima istu strukturu kao i Schrodingerova valna jednadžba. Ono što mijenja je H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Drugi postulat: Hamiltonov operator operiran je počevši od Einsteinove veze energije i momenta, koja je napisana na sljedeći način:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ²) ^1/2

U prethodnom odnosu, ako čestica ima moment p = 0, tada imamo poznatu jednadžbu E = mc ² koja povezuje energiju u mirovanju bilo koje čestice mase m brzinom svjetlosti c.

Treći postulat: da bi se dobio Hamiltonov operator, koristi se isto pravilo kvantizacije korišteno u Schrodingerovoj jednadžbi:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Na početku nije bilo jasno kako se nositi s tim diferencijalnim operatorom koji djeluje unutar kvadratnog korijena, pa je Dirac krenuo u dobivanje linearnog Hamiltonovog operatera na operatoru zamaha i odatle je nastao njegov četvrti postulat.

Četvrti postulat: da biste se riješili četvrtastog korijena u formuli relativističke energije, Dirac je predložio sljedeću strukturu za E ²:

Naravno, potrebno je odrediti alfa koeficijente (α0, α1, α2, α3) da bi to bilo točno.

Diracova jednadžba

Diraksova jednadžba se u svom kompaktnom obliku smatra jednom od najljepših matematičkih jednadžbi na svijetu:

Slika 2. Jednadžba Dirac-a u kompaktnom obliku. Izvor: F. Zapata.

I tada postaje jasno da konstantne alfa ne mogu biti skalarne količine. Jedini način da se postigne jednakost četvrtog postulata jest to da su one stalne 4 × 4 matrice, poznate kao Dirac-ove matrice:

Odmah primjećujemo da valna funkcija prestaje biti skalarna funkcija i postaje vektor s četiri komponente koje nazivamo spinorom:

Atom Dirac-Jordan

Za dobivanje atomskog modela potrebno je prijeći iz jednadžbe slobodnog elektrona u onu elektrona u elektromagnetskom polju proizvedenom u atomskom jezgru. Ova interakcija se uzima u obzir uvrštavanjem skalarnog potencijala Φ i vektorskog potencijala A u Hamiltonovcu:

Valna funkcija (spinora) koja je rezultat uključivanja ovog Hamiltonijana ima sljedeće karakteristike:

- Ispunjava posebnu relativnost jer uzima u obzir unutrašnju energiju elektrona (prvi pojam relativističkog Hamiltonijeva)

- Ima četiri rješenja koja odgovaraju četiriju komponenata spinora

- Prva dva rješenja odgovaraju jednom za spin + ½, a drugom za spin - ½

- Konačno, druga dva rješenja predviđaju postojanje antimaterije jer odgovaraju onom pozitirona s suprotnim okretima.

Velika prednost Dirakove jednadžbe je da se ispravke osnovnog Schrodingerovog Hamiltonijana H (o) mogu raščlaniti na nekoliko pojmova koje ćemo pokazati u nastavku:

U prethodnom izrazu V je skalarni potencijal, budući da je vektorski potencijal A jednak nuli, ako se pretpostavi da je središnji proton nepomičan i da se stoga ne pojavljuje.

Razlog da su Dirakove ispravke Schrodingerovih rješenja u valnoj funkciji suptilne. Oni proizlaze iz činjenice da su posljednja tri popisa ispravljenog Hamiltonijana podijeljena brzinom c svjetlosti u kvadratu, ogromnim brojem, što ove pojmove čini brojčano malim.

Relativističke korekcije u energetskom spektru

Pomoću Dirac-Jordanove jednadžbe pronalazimo ispravke energetskog spektra elektrona u vodikovom atomu. Korekcije energije u atomima s više od jednog elektrona u približnom obliku nalaze se i kroz metodologiju poznatu kao teorija perturbacije.

Slično tome, Dirac-ov model omogućava nam da nađemo korekciju fine strukture u energetskoj razini vodika.

Međutim, još suptilnije korekcije poput hiperfine strukture i Lambsovog pomaka dobivaju se iz naprednijih modela poput kvantne teorije polja, koja je rođena upravo iz doprinosa Diracovog modela.

Sljedeća slika pokazuje kako izgledaju Diracove relativističke korekcije energetskih razina:

Slika 3. Korekcije Diracovog modela na razine vodikova atoma. Izvor: Wikimedia Commons.

Na primjer, rješenja Diracsove jednadžbe ispravno predviđaju primijećeni pomak na razini 2s. Poznata je korekcija fine strukture u Lyman-alfa liniji vodikova spektra (vidi sliku 3).

Usput, fina struktura je naziv dat u atomskoj fizici udvostručavanju linija emisijskog spektra atoma, što je izravna posljedica elektronskog spinovanja.

Slika 4. Podjela fine strukture za osnovno stanje n = 1 i prvo pobuđeno stanje n = 2 u atomu vodika. Izvor: R Wirnata. Relativističke korekcije atoma nalik vodiku. Researchgate.net

Članci interesa

De Broglieov atomski model.

Chadwickov atomski model.

Heisenbergov atomski model.

Perrinov atomski model.

Thomson-ov atomski model.

Daltonov atomski model.

Schrödingerov atomski model.

Atomski model Demokrita.

Bohrov atomski model.

Reference

1. Atomska teorija. Oporavak s wikipedia.org.
2. Elektronski magnetski trenutak. Oporavak s wikipedia.org.
3. Quanta: Priručnik sa pojmovima. (1974). Oxford University Press. Oporavak s Wikipedije.org.
4. Atomski model Dirac Jordana. Oporavak od prezi.com.
5. Novi kvantni svemir. Cambridge University Press. Oporavak s Wikipedije.org.